eng
Выпуск #9/2018
Tsyboolsky O. A.
Сравнение характеристик линейного и дробно-линейного (проективного) аналого-цифровых преобразований
Сравнение характеристик линейного и дробно-линейного (проективного) аналого-цифровых преобразований
Просмотры: 1756
Приведены краткие данные по свойствам и характеристикам класса дробно-линейных АЦП в сравнении с линейными АЦП, которые являются частным случаем дробно-линейных АЦП. Получено уравнение и структура дробно-линейного аналого-цифрового преобразования, согласующее полосу погрешности квантования с полосой предельной погрешности. Показано преимущество применения дробно-линейного уравнения измерения по сравнению с линейным уравнением, при решении задач расширения диапазона измерения, увеличения отношения сигнал-шум квантования, снижения разрядности преобразователя, автоматической коррекции погрешности.
УДК 53.088
DOI: 10.22184/1993-8578.2018.82.344.350
УДК 53.088
DOI: 10.22184/1993-8578.2018.82.344.350
Теги: snr ацп дробно-линейная характеристика корреция погрешности критерий погрешность квантования предельная погрешность уравнение измерений
Общее уравнение измерения дробно-линейных АЦП [1]
,(1)
где a0, a1, b0, b1 — постоянные масштабные коэффициенты; Х и Хоп — измеряемая и опорная величины; К — выходной код.
При b1 = 0 (1) станет линейным уравнением измерения. Но достаточно сделать b1 ≠ 0, чтобы получить дополнительные существенные преимущества по сравнению с линейным измерением.
НОРМИРОВАНИЕ ПРЕДЕЛЬНОЙ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ПОГРЕШНОСТИ
В настоящее время предельная относительная погрешность измерения нормируется с помощью двухчленной формулы, которую можно представить в виде
,
где da и dм — аддитивная и мультипликативная составляющие; Xн — нижняя граница диапазона измерения.
При применении АЦП с линейной шкалой предельная относительная погрешность быстро растет с уменьшением Х из-за погрешности квантования. И часто именно рост погрешности квантования ограничивает диапазон измерения внизу шкалы и требует введения поддиапазонов. Чтобы этого не происходило, необходимо чтобы погрешность квантования изменялась по тому же закону, что и предельная погрешность прибора. Это достигается применением АЦП с экспоненциальной шкалой квантования [2]. Но несмотря на преимущества шкалы с постоянной относительной погрешностью квантования, экспоненциальные АЦП до сих пор не получили широкого распространения.
Чтобы получить аналогичный результат применением АЦП с линейной шкалой квантования, необходимо использовать дробно-линейное уравнение измерения (1). Дробно-линейное АЦП преобразует линейную шкалу, уменьшая цену деления в начале шкалы и увеличивая ее в верхней части диапазона. Полоса предельной погрешности становится более равномерной, но из-за ее U-образной формы нормировать ее необходимо трехчленной формулой. На рис. 1 приведены графики относительной погрешности квантования линейного АЦП и дробно-линейного АЦП, обеспечивающего «квазиравномерную» шкалу [1]. Закон изменения относительной погрешности квантования такого АЦП имеет вид (2) и включает в себя дополнительную третью составляющую погрешности, погрешность нелинейности.
,(2)
где X, Xн, Xв — соответственно текущее значение измеряемой величины, нижняя и верхняя границы диапазона измерений; N — число квантов шкалы.
В общем случае, трехчленная формула представления погрешности по диапазону измерения имеет вид
,(3)
где ; — составляющие, определяемые соответственно аддитивной погрешностью Δа и погрешностью нелинейности Δг (гиперболической составляющей) при X = Xв — верхней границе диапазона измерения.
Необходимость применения формулы (3) с тремя составляющими погрешности вызвана тем, что в приборах с широким диапазоном измерений становится существенной погрешность нелинейности, которую также необходимо учитывать при нормировании. Третья составляющая предельной относительной погрешности, в отличие от аддитивной и мультипликативной составляющих, нормирует гиперболическую нелинейность функции преобразования прибора. Это наиболее часто встречающаяся в измерительных приборах нелинейность, поскольку она свойственна всем параметрическим (например, мостовым) измерительным преобразователям [3].
Параметрические измерительные преобразователи имеют дробно-линейную функцию преобразования [4], которая также присуща широкодиапазонным измерительным приборам [5]. Преобразование, осуществляемое дробно-линейной функцией, относится к проективным преобразованиям, образующим группу, т. е. «каждую конечную последовательность преобразований можно заменить одним преобразованием этой же группы» [6]. Структурная схема широкодиапазонного измерительного прибора, как правило, состоит из последовательной цепочки линейных преобразователей. Существование в этой цепочке хотя бы одного преобразователя с дробно-линейной характеристикой сделает и результирующую характеристику также дробно-линейной. Признаком появления дробно-линейной зависимости в характеристике преобразования прибора является увеличение относительной погрешности в верхней части диапазона, в результате чего полоса предельной относительной погрешности приобретает U-образный вид (3). В широкодиапазонном приборе погрешность измерений минимальна при измеряемой величине, равной однозначной мере, например, опорному напряжению или сопротивлению. С уменьшением или увеличением измеряемой величины относительно однозначной меры погрешность будет возрастать и может быть описана формулой (3).
Как следует из (2), свойства измерительной шкалы дробно-линейного АЦП определяются коэффициентами b0 и b1. Зададим значения коэффициентов а0 = 0 и а1 = 1, поскольку влияние этих коэффициентов одинаково для обоих типов преобразования. Уравнение дробно-линейного измерения в упрощенном виде можно записать как
.(4)
Структурная схема дробно-линейного АЦП, соответствующая уравнению (4), изображена на рис. 2 [1]. Она отличается от структурной схемы линейного АЦП наличием сумматора на опорном входе. АЦП осуществляет сравнение измеряемого сигнала Х с линейной комбинацией измеряемого и опорного сигналов.
ХАРАКТЕРИСТИКА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДРОБНО-ЛИНЕЙНОГО АЦП
В общем случае характеристика дробно-линейного преобразования описывает равностороннюю гиперболу. С помощью коэффициентов a0, a1, b0, b1 уравнения измерения (1) можно выбрать в качестве характеристики аналого-цифрового преобразования любую ветвь равносторонней гиперболы.
На рис. 3. приведены характеристики преобразования упрощенного уравнения измерения с функциями сжатия и расширения диапазона измерения:
• При значении коэффициента b1 = 0 характеристика преобразования линейна.
• При значении коэффициента b1 > 0 характеристика обеспечивает компрессию выходного кода К (сжатие динамического диапазона выходного сигнала К по сравнению с динамическим диапазоном входного сигнала Х).
• При значении коэффициента b1 < 0 характеристика преобразования расширяет динамический диапазон выходного кода К.
Необходимо отметить, что нелинейность характеристики определяется применением исключительно линейных преобразователей и с сохранением их точностных характеристик. Это иллюстрируется на рис. 4 и 5.
Геометрическая интерпретация решения дробно-линейного уравнения (1) как решение системы двух линейных уравнений показана на рис. 4. В частном случае, при значении коэффициента b1 = 0, получим решение линейного уравнения измерения.
Поскольку преобразования проективной геометрии основаны на дробно-линейной функции, существует аналогия между проективным и измерительным преобразованием [7]. Поэтому к АЦП с дробно-линейной характеристикой применимо также название проективное АЦП. На рис. 5. приведены примеры геометрического преобразования (проекции), осуществляемого в евклидовой геометрии и в проективной геометрии. В отличие от евклидовой геометрии, в проективной геометрии проекция осуществляется не только параллельными лучами, но и лучами, исходящими из удаленной точки.
Центральное проективное преобразование (проецирование из удаленной точки) соответствует дробно-линейному измерительному преобразованию, в частном случае параллельная проекция (проецирование из бесконечно удаленной точки) соответствует линейному измерительному преобразованию. Эта связь позволяет применять математический аппарат проективной геометрии для анализа и синтеза схем проективных АЦП.
В табл. 1 приведены для сравнения выражения уравнений измерения, формулы изменения погрешности по диапазону для линейных и дробно-линейных преобразований, показывающие их взаимосвязь.
Как следует из табл. 1, дробно-линейное преобразование включает в себя линейное преобразование в виде частного случая и обеспечивает существенно более широкие функциональные возможности измерительного преобразования. Одной из таких возможностей является согласование полосы погрешности квантования с полосой предельной погрешности аналого-цифрового преобразования.
В [5, 7] показано, что для адекватного представления предельной погрешности широкодиапазонных приборов без разбиения на поддиапазоны требуется учитывать погрешность от нелинейности характеристики прибора и задавать полосу предельной погрешности в виде формулы из трех составляющих (3).
У АЦП с линейной шкалой квантования, имеющей постоянную по диапазону цену деления, полоса относительной погрешности квантования имеет вид
.(5)
Несоответствие полосы погрешности квантования линейной шкалы полосе предельной погрешности измерения прибора приводит к завышению разрядности применяемого АЦП, избыточной точности квантования в верхней части диапазона измерения и требует введения в прибор поддиапазонов.
Чтобы исключить эти недостатки, необходимо, чтобы полоса погрешности квантования имела тот же закон изменения по диапазону, что и полоса предельной погрешности (3), т. е. чтобы погрешность квантования была пропорциональна предельной погрешности во всем диапазоне измерения.
В [8] показано, что для того чтобы полоса погрешности квантования была пропорциональна полосе предельной погрешности, нормированной трехчленной формулой (3), необходимо в общем случае, чтобы уравнение измерения имело дробно-линейный вид (1), а применяемый АЦП имел экспоненциальную (с постоянной относительной погрешностью) шкалу квантования.
Если задать погрешность квантования не меньше суммы прочих погрешностей (например, dXк = 0,5dX), то можно полагать, что ни один квант такого прибора не будет избыточным. АЦП с такой шкалой квантования будет оптимальным по разрядности. Однако АЦП с постоянной относительной погрешностью квантования до сих пор не получили того распространения, которое по мнению автора, они заслуживают. Поэтому рассмотрим возможность применения в дробно-линейном уравнении измерения АЦП с постоянной абсолютной погрешностью квантования.
При применении линейного АЦП (с постоянной абсолютной погрешностью квантования) полоса относительной погрешности квантования будет описываться выражением (5). Дробно-линейное уравнение измерения преобразует полосу (5) в (2), являющуюся частным случаем общей трехчленной формулы (3).
Поскольку после дробно-линейного преобразования шкала измеряемой величины отличается от шкалы выходного кода, в дальнейшем шкалу квантования измеряемой величины Х, осуществляемого аналого-цифровым преобразователем (АЦП), будем называть полосой погрешности квантования (Х), в отличие от безразмерной шкалы квантования управляемого масштабного преобразователя (ЦАП), входящего в состав АЦП, которую будем называть шкалой квантования (К).
ДРОБНО-ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ИЗМЕРЕНИЯ АЦП С ЛИНЕЙНОЙ ШКАЛОЙ КВАНТОВАНИЯ
Как показано в [9], выражение (2), соответствующее всем полосам погрешности квантования, получаемым на базе шкалы квантования К с постоянной ценой деления, т. е. на базе линейных АЦП, отличается от общего закона изменения предельной погрешности (3) только значением мультипликативной составляющей dм.
Поэтому целесообразно аппроксимировать оптимальную полосу погрешности квантования (3) полосой (2), заменив АЦП с экспоненциальной шкалой квантования на АЦП с линейной шкалой квантования.
В способе аналого-цифрового преобразования [10] предложена структурная схема преобразования и дробно-линейное уравнение измерения, которые решают эту задачу. При условии уравнение измерения имеет вид
.(6)
АЦП с уравнением (6) имеет полосу погрешности квантования (2), совпадающую с оптимальной полосой погрешности квантования (3) в граничных точках диапазона измерения.
Для определения динамического диапазона измерения аналого-цифрового преобразования с дробно-линейным уравнением измерения (6) воспользуемся выражением, полученным в [9]
,(7)
где dXн, dXв — соответственно, относительные погрешности в нижней и верхней границах диапазона измерения; Nв — число квантов шкалы.
Это выражение справедливо для всех приборов с дробно-линейным уравнением измерения и линейной шкалой квантования.
Выразим из (7) динамический диапазон измерений, при условии задания погрешности квантования Х в граничных точках шкалы измерений, равной половине предельной погрешности:
.(8)
Выражение (8) позволяет сравнивать динамические диапазоны дробно-линейных АЦП при различных значениях граничных относительных погрешностей квантования. Например, если при Nв = 4096, относительная погрешность квантования в нижней границе диапазона должна быть dXн = 0,01, в верхней границе диапазона должна быть dXв = 0,005, то из (8) получим
D = 40962 • 0,01 • 0,005 + 2 840. Тот же расчет, проведенный для АЦП с линейной шкалой измерения, при которой dXн = 1/4096, даст значение Dл 43. Т. е. согласование полосы погрешности квантования с полосой предельной погрешности с помощью дробно-линейного уравнения измерения позволяет, в данном примере, расширить динамический диапазон измерения в 19,5 раз.
Чтобы наглядней увидеть преимущества согласования полосы погрешности квантования с полосой предельной погрешности измерения при применении дробно-линейного аналого-цифрового преобразования, зададим в качестве примера полосу предельной погрешности в виде
,(9)
полоса погрешности квантования дробно-линейного АЦП, соответствующего уравнению измерения (6), имеет вид
,(10)
полоса погрешности квантования линейного АЦП (5) имеет вид
.(11)
В табл. 2 показаны изменения погрешности квантования (10) для АЦП с линейной шкалой квантования в дробно-линейном уравнении измерения и погрешности квантования (11) для АЦП с линейной шкалой квантования в линейном уравнении, при полосе предельной погрешности измерения, нормированной трехчленным выражением (9). А также приведены значения минимального количества квантов для каждого рассматриваемого случая, необходимых для получения полосы квантования в динамическом (относительном) диапазоне измерения 1:800. Расчет минимального необходимого количества квантов АЦП проводился по (7).
Как следует из табл. 2, для того чтобы обеспечить полосу погрешности квантования (10):
• прибору с дробно-линейным уравнением (6) потребуется 12-разрядный АЦП с линейной шкалой квантования (Nв = 3992 квантов);
• прибору с линейным уравнением потребуется 17-разрядный АЦП с линейной шкалой квантования (Nв = 80000 квантов).
Как при этом изменяется по шкале измеряемой величины относительная погрешность квантования, наглядно видно из рис. 6.
Структурная схема аналого-цифровых преобразователей с дробно-линейным уравнением измерения рассмотрена в [9]. Важным требованием, предъявляемым к АЦП для применения в дробно-линейном уравнении измерения, является допустимость изменения напряжения на опорном (ref) входе микросхемы в достаточно широком диапазоне. Этому требованию удовлетворяют преобразователи с умножающим ЦАП.
Для снижения энергопотребления во многих микроконтроллерах однополярное питание ограничено 5 В. При этом напряжение на опорном входе может регулироваться не более, чем в 5 раз. Это позволяет только в 5 раз расширить диапазон измерения или снизить разрядность АЦП на два разряда, применив вместо линейного преобразования дробно-линейное. Этого ограничения не будет при применении специальных схемных решений или при применении внешних микросхем, умножающих АЦП и ЦАП, например, фирмы Analog Device и др.
Чтобы уменьшить потребление энергии и время преобразования с помощью дробно-линейного измерения, необходимо снизить разрядность применяемого АЦП, создав компрессию выходного кода К (рис. 3). Работы по созданию компрессионных АЦП ведутся фирмами. Например, с помощью разработанной технологии сжатия сигнала компания ZeroWatt на порядок снизила потребление энергии своих компрессионных АЦП [11].
ОТНОШЕНИЕ СИГНАЛ-ШУМ КВАНТОВАНИЯ (SNR) ДРОБНО-ЛИНЕЙНОГО АЦП
Как следует из выражения (8), снизить погрешность квантования внизу шкалы и увеличить диапазон измерения при неизменном числе квантов можно за счет увеличения относительной погрешности квантования в верхней части шкалы, имеющей в АЦП с линейной шкалой избыточную точности квантования. При одинаковых знаках b0 и b1 цена деления шкалы измерений уменьшается внизу диапазона и растет вверху диапазона измерений в соответствии с формулой (2).
Благодаря этой трансформации можно повысить значение отношения сигнал-шум квантования (SNR) дробно-линейного АЦП по сравнению с линейным АЦП той же разрядности.
Как известно [12], значение отношения сигнал-шум рассчитывается по формуле
SNR = 20 lg(Xв/q) + 1,76,(12),
где q — квант шкалы.
Из выражения (8) определим значение полного динамического диапазона (Xв/q), при значениях параметров q = Xн, dXн = 1, Nв = 2n, где n — разрядность АЦП
(Xв/q) = 22n dXв + 2.(13)
Подставляя (13) в (12), получим выражение SNR для дробно-линейных АЦП
SNR = 20 lg(22n dXв + 2) + 1,76.(14)
Из (14) следует, что если значение относительной погрешности квантования в верхней границе диапазона измерения dXв в дробно-линейном АЦП будет больше, чем 2–n, то значение его SNR будет больше, чем у линейного АЦП той же разрядности.
Например, для 12-разрядного АЦП при dXв = 0,01 в дробно-линейном АЦП получим
SNR = 20 lg(224 0,01 + 2) + 1,76 ≈ 106 дБ,
и, соответственно, при dXв = 0,00025 для линейного АЦП получим
SNR = 20 lg(224 0,00025 + 2) + 1,76 ≈ 74 дБ.
Таким образом, применение дробно-линейного уравнения измерения увеличивает отношение сигнал-шум квантования дробно-линейного АЦП по сравнению с применением линейного АЦП той же разрядности.
Дробно-линейные АЦП с линейной шкалой квантования приближаются по эффективности формирования шкалы измерения к АЦП с экспоненциальной шкалой квантования, сохраняя при этом высокие технико-экономические характеристики используемого линейного АЦП.
КРИТЕРИЙ РАЗРЕШАЮЩЕЙ СПОСОБНОСТИ
Оценить преимущества дробно-линейного преобразования по сравнению с линейным позволяет критерий разрешающей способности, предложенный в работах Ф. Е. Темникова [13] и П. В. Новицкого [3] для двучленной формулы нормирования предельной погрешности
.(15)
Для приборов, предельная погрешность которых нормируется трехчленной формулой (3), предложен расширенный критерий [8]:
(16)
Критерий разрешающей способности имеет понятный физический смысл: он определяет количество эффективных (реальных) квантов, на которые данный прибор может разделить диапазон измерений с заданной полосой предельной погрешности, т. е. сколько непересекающихся интервалов предельной абсолютной погрешности последовательно уложатся в диапазон измерений. Это ресурс, которым обладает прибор для проведения измерения, и чем больше Nэф, тем точней прибор. При этом критерий показывает взаимосвязь параметров шкалы измерений. При применении в приборе поддиапазонов измерений количество эффективных квантов всего диапазона измерений равно сумме эффективных квантов всех поддиапазонов.
АВТОМАТИЧЕСКАЯ КОРРЕКЦИЯ ПОГРЕШНОСТИ
В 80-х годах разработке информационно-структурных методов повышения точности измерительных устройств посвящали свои работы Алиев Т. М., Бромберг Э. М., Куликовский К. Л., Земельман М. А. и др.
Одним из наиболее широко применяемых структурных методов является метод образцовых (тестовых) сигналов, в котором на вход измерительного устройства подаются дополнительные образцовые сигналы или линейные комбинации образцового и измеряемого сигнала. Эти методы позволяли легко скорректировать аддитивную и мультипликативную составляющие систематической погрешности. Но для коррекции нелинейности характеристики преобразования применялись только итерационные методы.
В [14] Мазиным В. Д. для коррекции погрешности измерительных параметрических преобразователей предложен метод сложного отношения (МСО), относящийся к методу образцовых сигналов, позволяющий скорректировать также нелинейную составляющую систематической погрешности. Метод сложного отношения использует аналогию между функциями параметрического и проективного преобразований и основан на фундаментальном свойстве проективной геометрии — инварианте сложного отношения. Свойства МСО в применении к параметрическим преобразователям исследовались в работах Мазина В. Д. [14] и Герасимова А. И.
Свойства МСО в применении к дробно-линейному АЦ преобразованию исследовались в [15]. В работе показано, что дробно-линейная характеристика преобразования свойственна не только параметрическим преобразованиям, но и большинству широкодиапазонных измерительных приборов. Поэтому МСО применим также и к ним. Метод сложного отношения основан на постоянстве (инвариантности) величины сложного отношения четырех произвольных точек измерительной шкалы при их проективном (с дробно-линейной характеристикой) измерительном преобразовании.
Зададим на шкале измеряемой величины Х четыре произвольные точки . Выполним преобразование прибором этих четырех точек шкалы и получим значения выходных кодов Тогда будет выполняться соотношение
(17)
Величина W сложного (двойного) отношения четырех точек шкалы является инвариантом проективного (дробно-линейного) преобразования, так как при любом проективном преобразовании шкалы Х в шкалу К сложное отношение произвольной группы четырех точек шкалы Х равно сложному отношению соответствующих точек шкалы К. По рассчитанному с помощью выходных кодов сложному отношению можно определить значение измеряемой величины Х по формуле
(18)
Наиболее эффективно метод сложного отношения осуществляет коррекцию систематических составляющих погрешности. При этом должны быть приняты меры по минимизации случайных составляющих погрешности.
В результате применения метода сложного отношения достигаются следующие результаты [16]:
Результирующая предельная относительная погрешность измерения методом сложного отношения задается погрешностью опорных сигналов Х1, Х2, Х3 и изменяется по шкале измеряемой величины в соответствии с трехчленной формулой (3).
Аддитивная, мультипликативная и гиперболическая (нелинейная) составляющие систематической погрешности измерительного прибора полностью корректируются при применении метода сложного отношения.
В целом, применение метода сложного отношения позволяет рассматривать измерительный тракт прибора от входного сигнала до выходного кода как «черный ящик», с дробно-линейной функцией преобразования. Это снимает повышенные требования к точности, стабильности элементов измерительного тракта и, соответственно, снижает их цену. При этом три образцовых сигнала на входе тракта преобразования выступают в качестве многозначной меры. Например, применение метода сложного отношения в расходомере газа «Прамер-210» позволило в 10 раз снизить предельную погрешность каналов измерения температуры и давления, выполнив их на основе простых малопотребляющих электронных компонентов [16].
В табл. 3 сведены для сравнения уравнения измерения и все рассмотренные характеристики линейного и дробно-линейного аналого-цифровых преобразований.
ВЫВОДЫ
• Как следует из таблиц 1 и 3, все выражения, справедливые для линейного преобразования, являются частным случаем выражений, справедливых для дробно-линейного преобразования.
• Предложенное дробно-линейное аналого-цифровое преобразование (6) на основе АЦП с линейной шкалой квантования позволяет существенно расширить функциональные возможности измерения по сравнению с возможностями линейного аналого-цифрового преобразования.
• Оценить преимущества применения дробно-линейных АЦП позволяют полученные выражения для критерия разрешающей способности (16) и отношения сигнал-шум квантования (14).
• Для повышения точности измерения линейных и дробно-линейных АЦП эффективно применение метода сложного отношения. Метод осуществляет коррекцию аддитивной, мультипликативной и нелинейной (гиперболической) составляющих систематической погрешности, соответствующих трехчленной формуле (3) нормирования предельной погрешности.
• Дробно-линейное аналого-цифровое преобразование более эффективно, чем линейное преобразование, решает задачи оптимизации погрешности квантования, расширения диапазона измерений, снижения разрядности преобразователя. И будет наиболее эффективно при исполнении дробно-линейного АЦП в виде функционально законченного узла.
ЛИТЕРАТУРА
1. Патент № 1336240 СССР Н ОЗМ 1/48 Способ аналого-цифрового преобразования / О. А. Цыбульский. Заявл. 26.08.85 Опубл. 07.09.87. Бюл. 33.
2. Цыбульский О. А. Инварианты измерительного преобразования // Законодательная и прикладная метрология. — 2011. — № 1. — С. 22–26.
3. Новицкий П. В. Основы информационной теории измерительных устройств. Л.: Энергия, 1968. 248 с.
4. Левин М. И., Прытков В. Т., Демидова-Панфилова Р. М., Кутяшова Е. М. Основы электроизмерительной техники. — М.: Энергия, 1972.
5. Цыбульский О. А. Погрешность широкодиапазонных измерений // Законодательная и пр икладная метрология-2010. — № 4. — С. 5–10.
6. Ефимов Н. В. Высшая геометрия. — М.: Наука, 1978. — C. 576.
7. Цыбульский О. А. Проективные свойства широкодиапазонных измерений // Измерительная техника. — 2013. — № 1. — С. 27–29.
8. Цыбульский О. А. «Критерий для обобщенной оценки широкодиапазонного прибора по точности и диапазону измерений» // Измерительная техника. — 2014. — № 5. — С. 5–7.
9. Цыбульский О. А. Дробно-линейное уравнение измерений. // Измерительная техника. — 2017. — № 5. — С. 25–30.
10. Патент на изобретение № 2618903 Н ОЗМ 1/48 Способ аналого-цифрового преобразования.
11. Цыбульский О. А. Приоритет от 25 февраля 2016 г.
12. Fred Tzeng. Compression-based A-to-D Converters: Reaching New Low Power Limits in Quantization // RTC Magazine, December 2010. Статья переведена в журнале «Электронные компоненты» № 10, 2011.
13. Аналого-цифровое преобразование / Под ред. Уолта Кестера. — М.: Техносфера, 2007.
14. Темников Ф. Е. Автоматические регистрирующие приборы, Машгиз, 1960.
15. Мазин В. Д. Способ повышения точности измерительных приборов и преобразователей // ИТ. — 1980. — № 6. — С. 14–15.
16. Цыбульский О. А. Применение метода сложного отношения в широкодиапазонных измерительных приборах // Измерительная техника. — 2013. — № 3. — С. 11–12.
17. Цыбульский О. А., Гумеров М. Ф. Применение метода сложного отношения для повышения точности измерения температуры и давления в счетчике-расходомере «Прамер-210» // Материалы XV Международной научно-практической конференции «Энергоресурсосбережение. Диагностика-2013» г. Димитровград, 26–28 марта 2013 г. — С. 110–118.
,(1)
где a0, a1, b0, b1 — постоянные масштабные коэффициенты; Х и Хоп — измеряемая и опорная величины; К — выходной код.
При b1 = 0 (1) станет линейным уравнением измерения. Но достаточно сделать b1 ≠ 0, чтобы получить дополнительные существенные преимущества по сравнению с линейным измерением.
НОРМИРОВАНИЕ ПРЕДЕЛЬНОЙ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ПОГРЕШНОСТИ
В настоящее время предельная относительная погрешность измерения нормируется с помощью двухчленной формулы, которую можно представить в виде
,
где da и dм — аддитивная и мультипликативная составляющие; Xн — нижняя граница диапазона измерения.
При применении АЦП с линейной шкалой предельная относительная погрешность быстро растет с уменьшением Х из-за погрешности квантования. И часто именно рост погрешности квантования ограничивает диапазон измерения внизу шкалы и требует введения поддиапазонов. Чтобы этого не происходило, необходимо чтобы погрешность квантования изменялась по тому же закону, что и предельная погрешность прибора. Это достигается применением АЦП с экспоненциальной шкалой квантования [2]. Но несмотря на преимущества шкалы с постоянной относительной погрешностью квантования, экспоненциальные АЦП до сих пор не получили широкого распространения.
Чтобы получить аналогичный результат применением АЦП с линейной шкалой квантования, необходимо использовать дробно-линейное уравнение измерения (1). Дробно-линейное АЦП преобразует линейную шкалу, уменьшая цену деления в начале шкалы и увеличивая ее в верхней части диапазона. Полоса предельной погрешности становится более равномерной, но из-за ее U-образной формы нормировать ее необходимо трехчленной формулой. На рис. 1 приведены графики относительной погрешности квантования линейного АЦП и дробно-линейного АЦП, обеспечивающего «квазиравномерную» шкалу [1]. Закон изменения относительной погрешности квантования такого АЦП имеет вид (2) и включает в себя дополнительную третью составляющую погрешности, погрешность нелинейности.
,(2)
где X, Xн, Xв — соответственно текущее значение измеряемой величины, нижняя и верхняя границы диапазона измерений; N — число квантов шкалы.
В общем случае, трехчленная формула представления погрешности по диапазону измерения имеет вид
,(3)
где ; — составляющие, определяемые соответственно аддитивной погрешностью Δа и погрешностью нелинейности Δг (гиперболической составляющей) при X = Xв — верхней границе диапазона измерения.
Необходимость применения формулы (3) с тремя составляющими погрешности вызвана тем, что в приборах с широким диапазоном измерений становится существенной погрешность нелинейности, которую также необходимо учитывать при нормировании. Третья составляющая предельной относительной погрешности, в отличие от аддитивной и мультипликативной составляющих, нормирует гиперболическую нелинейность функции преобразования прибора. Это наиболее часто встречающаяся в измерительных приборах нелинейность, поскольку она свойственна всем параметрическим (например, мостовым) измерительным преобразователям [3].
Параметрические измерительные преобразователи имеют дробно-линейную функцию преобразования [4], которая также присуща широкодиапазонным измерительным приборам [5]. Преобразование, осуществляемое дробно-линейной функцией, относится к проективным преобразованиям, образующим группу, т. е. «каждую конечную последовательность преобразований можно заменить одним преобразованием этой же группы» [6]. Структурная схема широкодиапазонного измерительного прибора, как правило, состоит из последовательной цепочки линейных преобразователей. Существование в этой цепочке хотя бы одного преобразователя с дробно-линейной характеристикой сделает и результирующую характеристику также дробно-линейной. Признаком появления дробно-линейной зависимости в характеристике преобразования прибора является увеличение относительной погрешности в верхней части диапазона, в результате чего полоса предельной относительной погрешности приобретает U-образный вид (3). В широкодиапазонном приборе погрешность измерений минимальна при измеряемой величине, равной однозначной мере, например, опорному напряжению или сопротивлению. С уменьшением или увеличением измеряемой величины относительно однозначной меры погрешность будет возрастать и может быть описана формулой (3).
Как следует из (2), свойства измерительной шкалы дробно-линейного АЦП определяются коэффициентами b0 и b1. Зададим значения коэффициентов а0 = 0 и а1 = 1, поскольку влияние этих коэффициентов одинаково для обоих типов преобразования. Уравнение дробно-линейного измерения в упрощенном виде можно записать как
.(4)
Структурная схема дробно-линейного АЦП, соответствующая уравнению (4), изображена на рис. 2 [1]. Она отличается от структурной схемы линейного АЦП наличием сумматора на опорном входе. АЦП осуществляет сравнение измеряемого сигнала Х с линейной комбинацией измеряемого и опорного сигналов.
ХАРАКТЕРИСТИКА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДРОБНО-ЛИНЕЙНОГО АЦП
В общем случае характеристика дробно-линейного преобразования описывает равностороннюю гиперболу. С помощью коэффициентов a0, a1, b0, b1 уравнения измерения (1) можно выбрать в качестве характеристики аналого-цифрового преобразования любую ветвь равносторонней гиперболы.
На рис. 3. приведены характеристики преобразования упрощенного уравнения измерения с функциями сжатия и расширения диапазона измерения:
• При значении коэффициента b1 = 0 характеристика преобразования линейна.
• При значении коэффициента b1 > 0 характеристика обеспечивает компрессию выходного кода К (сжатие динамического диапазона выходного сигнала К по сравнению с динамическим диапазоном входного сигнала Х).
• При значении коэффициента b1 < 0 характеристика преобразования расширяет динамический диапазон выходного кода К.
Необходимо отметить, что нелинейность характеристики определяется применением исключительно линейных преобразователей и с сохранением их точностных характеристик. Это иллюстрируется на рис. 4 и 5.
Геометрическая интерпретация решения дробно-линейного уравнения (1) как решение системы двух линейных уравнений показана на рис. 4. В частном случае, при значении коэффициента b1 = 0, получим решение линейного уравнения измерения.
Поскольку преобразования проективной геометрии основаны на дробно-линейной функции, существует аналогия между проективным и измерительным преобразованием [7]. Поэтому к АЦП с дробно-линейной характеристикой применимо также название проективное АЦП. На рис. 5. приведены примеры геометрического преобразования (проекции), осуществляемого в евклидовой геометрии и в проективной геометрии. В отличие от евклидовой геометрии, в проективной геометрии проекция осуществляется не только параллельными лучами, но и лучами, исходящими из удаленной точки.
Центральное проективное преобразование (проецирование из удаленной точки) соответствует дробно-линейному измерительному преобразованию, в частном случае параллельная проекция (проецирование из бесконечно удаленной точки) соответствует линейному измерительному преобразованию. Эта связь позволяет применять математический аппарат проективной геометрии для анализа и синтеза схем проективных АЦП.
В табл. 1 приведены для сравнения выражения уравнений измерения, формулы изменения погрешности по диапазону для линейных и дробно-линейных преобразований, показывающие их взаимосвязь.
Как следует из табл. 1, дробно-линейное преобразование включает в себя линейное преобразование в виде частного случая и обеспечивает существенно более широкие функциональные возможности измерительного преобразования. Одной из таких возможностей является согласование полосы погрешности квантования с полосой предельной погрешности аналого-цифрового преобразования.
В [5, 7] показано, что для адекватного представления предельной погрешности широкодиапазонных приборов без разбиения на поддиапазоны требуется учитывать погрешность от нелинейности характеристики прибора и задавать полосу предельной погрешности в виде формулы из трех составляющих (3).
У АЦП с линейной шкалой квантования, имеющей постоянную по диапазону цену деления, полоса относительной погрешности квантования имеет вид
.(5)
Несоответствие полосы погрешности квантования линейной шкалы полосе предельной погрешности измерения прибора приводит к завышению разрядности применяемого АЦП, избыточной точности квантования в верхней части диапазона измерения и требует введения в прибор поддиапазонов.
Чтобы исключить эти недостатки, необходимо, чтобы полоса погрешности квантования имела тот же закон изменения по диапазону, что и полоса предельной погрешности (3), т. е. чтобы погрешность квантования была пропорциональна предельной погрешности во всем диапазоне измерения.
В [8] показано, что для того чтобы полоса погрешности квантования была пропорциональна полосе предельной погрешности, нормированной трехчленной формулой (3), необходимо в общем случае, чтобы уравнение измерения имело дробно-линейный вид (1), а применяемый АЦП имел экспоненциальную (с постоянной относительной погрешностью) шкалу квантования.
Если задать погрешность квантования не меньше суммы прочих погрешностей (например, dXк = 0,5dX), то можно полагать, что ни один квант такого прибора не будет избыточным. АЦП с такой шкалой квантования будет оптимальным по разрядности. Однако АЦП с постоянной относительной погрешностью квантования до сих пор не получили того распространения, которое по мнению автора, они заслуживают. Поэтому рассмотрим возможность применения в дробно-линейном уравнении измерения АЦП с постоянной абсолютной погрешностью квантования.
При применении линейного АЦП (с постоянной абсолютной погрешностью квантования) полоса относительной погрешности квантования будет описываться выражением (5). Дробно-линейное уравнение измерения преобразует полосу (5) в (2), являющуюся частным случаем общей трехчленной формулы (3).
Поскольку после дробно-линейного преобразования шкала измеряемой величины отличается от шкалы выходного кода, в дальнейшем шкалу квантования измеряемой величины Х, осуществляемого аналого-цифровым преобразователем (АЦП), будем называть полосой погрешности квантования (Х), в отличие от безразмерной шкалы квантования управляемого масштабного преобразователя (ЦАП), входящего в состав АЦП, которую будем называть шкалой квантования (К).
ДРОБНО-ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ИЗМЕРЕНИЯ АЦП С ЛИНЕЙНОЙ ШКАЛОЙ КВАНТОВАНИЯ
Как показано в [9], выражение (2), соответствующее всем полосам погрешности квантования, получаемым на базе шкалы квантования К с постоянной ценой деления, т. е. на базе линейных АЦП, отличается от общего закона изменения предельной погрешности (3) только значением мультипликативной составляющей dм.
Поэтому целесообразно аппроксимировать оптимальную полосу погрешности квантования (3) полосой (2), заменив АЦП с экспоненциальной шкалой квантования на АЦП с линейной шкалой квантования.
В способе аналого-цифрового преобразования [10] предложена структурная схема преобразования и дробно-линейное уравнение измерения, которые решают эту задачу. При условии уравнение измерения имеет вид
.(6)
АЦП с уравнением (6) имеет полосу погрешности квантования (2), совпадающую с оптимальной полосой погрешности квантования (3) в граничных точках диапазона измерения.
Для определения динамического диапазона измерения аналого-цифрового преобразования с дробно-линейным уравнением измерения (6) воспользуемся выражением, полученным в [9]
,(7)
где dXн, dXв — соответственно, относительные погрешности в нижней и верхней границах диапазона измерения; Nв — число квантов шкалы.
Это выражение справедливо для всех приборов с дробно-линейным уравнением измерения и линейной шкалой квантования.
Выразим из (7) динамический диапазон измерений, при условии задания погрешности квантования Х в граничных точках шкалы измерений, равной половине предельной погрешности:
.(8)
Выражение (8) позволяет сравнивать динамические диапазоны дробно-линейных АЦП при различных значениях граничных относительных погрешностей квантования. Например, если при Nв = 4096, относительная погрешность квантования в нижней границе диапазона должна быть dXн = 0,01, в верхней границе диапазона должна быть dXв = 0,005, то из (8) получим
D = 40962 • 0,01 • 0,005 + 2 840. Тот же расчет, проведенный для АЦП с линейной шкалой измерения, при которой dXн = 1/4096, даст значение Dл 43. Т. е. согласование полосы погрешности квантования с полосой предельной погрешности с помощью дробно-линейного уравнения измерения позволяет, в данном примере, расширить динамический диапазон измерения в 19,5 раз.
Чтобы наглядней увидеть преимущества согласования полосы погрешности квантования с полосой предельной погрешности измерения при применении дробно-линейного аналого-цифрового преобразования, зададим в качестве примера полосу предельной погрешности в виде
,(9)
полоса погрешности квантования дробно-линейного АЦП, соответствующего уравнению измерения (6), имеет вид
,(10)
полоса погрешности квантования линейного АЦП (5) имеет вид
.(11)
В табл. 2 показаны изменения погрешности квантования (10) для АЦП с линейной шкалой квантования в дробно-линейном уравнении измерения и погрешности квантования (11) для АЦП с линейной шкалой квантования в линейном уравнении, при полосе предельной погрешности измерения, нормированной трехчленным выражением (9). А также приведены значения минимального количества квантов для каждого рассматриваемого случая, необходимых для получения полосы квантования в динамическом (относительном) диапазоне измерения 1:800. Расчет минимального необходимого количества квантов АЦП проводился по (7).
Как следует из табл. 2, для того чтобы обеспечить полосу погрешности квантования (10):
• прибору с дробно-линейным уравнением (6) потребуется 12-разрядный АЦП с линейной шкалой квантования (Nв = 3992 квантов);
• прибору с линейным уравнением потребуется 17-разрядный АЦП с линейной шкалой квантования (Nв = 80000 квантов).
Как при этом изменяется по шкале измеряемой величины относительная погрешность квантования, наглядно видно из рис. 6.
Структурная схема аналого-цифровых преобразователей с дробно-линейным уравнением измерения рассмотрена в [9]. Важным требованием, предъявляемым к АЦП для применения в дробно-линейном уравнении измерения, является допустимость изменения напряжения на опорном (ref) входе микросхемы в достаточно широком диапазоне. Этому требованию удовлетворяют преобразователи с умножающим ЦАП.
Для снижения энергопотребления во многих микроконтроллерах однополярное питание ограничено 5 В. При этом напряжение на опорном входе может регулироваться не более, чем в 5 раз. Это позволяет только в 5 раз расширить диапазон измерения или снизить разрядность АЦП на два разряда, применив вместо линейного преобразования дробно-линейное. Этого ограничения не будет при применении специальных схемных решений или при применении внешних микросхем, умножающих АЦП и ЦАП, например, фирмы Analog Device и др.
Чтобы уменьшить потребление энергии и время преобразования с помощью дробно-линейного измерения, необходимо снизить разрядность применяемого АЦП, создав компрессию выходного кода К (рис. 3). Работы по созданию компрессионных АЦП ведутся фирмами. Например, с помощью разработанной технологии сжатия сигнала компания ZeroWatt на порядок снизила потребление энергии своих компрессионных АЦП [11].
ОТНОШЕНИЕ СИГНАЛ-ШУМ КВАНТОВАНИЯ (SNR) ДРОБНО-ЛИНЕЙНОГО АЦП
Как следует из выражения (8), снизить погрешность квантования внизу шкалы и увеличить диапазон измерения при неизменном числе квантов можно за счет увеличения относительной погрешности квантования в верхней части шкалы, имеющей в АЦП с линейной шкалой избыточную точности квантования. При одинаковых знаках b0 и b1 цена деления шкалы измерений уменьшается внизу диапазона и растет вверху диапазона измерений в соответствии с формулой (2).
Благодаря этой трансформации можно повысить значение отношения сигнал-шум квантования (SNR) дробно-линейного АЦП по сравнению с линейным АЦП той же разрядности.
Как известно [12], значение отношения сигнал-шум рассчитывается по формуле
SNR = 20 lg(Xв/q) + 1,76,(12),
где q — квант шкалы.
Из выражения (8) определим значение полного динамического диапазона (Xв/q), при значениях параметров q = Xн, dXн = 1, Nв = 2n, где n — разрядность АЦП
(Xв/q) = 22n dXв + 2.(13)
Подставляя (13) в (12), получим выражение SNR для дробно-линейных АЦП
SNR = 20 lg(22n dXв + 2) + 1,76.(14)
Из (14) следует, что если значение относительной погрешности квантования в верхней границе диапазона измерения dXв в дробно-линейном АЦП будет больше, чем 2–n, то значение его SNR будет больше, чем у линейного АЦП той же разрядности.
Например, для 12-разрядного АЦП при dXв = 0,01 в дробно-линейном АЦП получим
SNR = 20 lg(224 0,01 + 2) + 1,76 ≈ 106 дБ,
и, соответственно, при dXв = 0,00025 для линейного АЦП получим
SNR = 20 lg(224 0,00025 + 2) + 1,76 ≈ 74 дБ.
Таким образом, применение дробно-линейного уравнения измерения увеличивает отношение сигнал-шум квантования дробно-линейного АЦП по сравнению с применением линейного АЦП той же разрядности.
Дробно-линейные АЦП с линейной шкалой квантования приближаются по эффективности формирования шкалы измерения к АЦП с экспоненциальной шкалой квантования, сохраняя при этом высокие технико-экономические характеристики используемого линейного АЦП.
КРИТЕРИЙ РАЗРЕШАЮЩЕЙ СПОСОБНОСТИ
Оценить преимущества дробно-линейного преобразования по сравнению с линейным позволяет критерий разрешающей способности, предложенный в работах Ф. Е. Темникова [13] и П. В. Новицкого [3] для двучленной формулы нормирования предельной погрешности
.(15)
Для приборов, предельная погрешность которых нормируется трехчленной формулой (3), предложен расширенный критерий [8]:
(16)
Критерий разрешающей способности имеет понятный физический смысл: он определяет количество эффективных (реальных) квантов, на которые данный прибор может разделить диапазон измерений с заданной полосой предельной погрешности, т. е. сколько непересекающихся интервалов предельной абсолютной погрешности последовательно уложатся в диапазон измерений. Это ресурс, которым обладает прибор для проведения измерения, и чем больше Nэф, тем точней прибор. При этом критерий показывает взаимосвязь параметров шкалы измерений. При применении в приборе поддиапазонов измерений количество эффективных квантов всего диапазона измерений равно сумме эффективных квантов всех поддиапазонов.
АВТОМАТИЧЕСКАЯ КОРРЕКЦИЯ ПОГРЕШНОСТИ
В 80-х годах разработке информационно-структурных методов повышения точности измерительных устройств посвящали свои работы Алиев Т. М., Бромберг Э. М., Куликовский К. Л., Земельман М. А. и др.
Одним из наиболее широко применяемых структурных методов является метод образцовых (тестовых) сигналов, в котором на вход измерительного устройства подаются дополнительные образцовые сигналы или линейные комбинации образцового и измеряемого сигнала. Эти методы позволяли легко скорректировать аддитивную и мультипликативную составляющие систематической погрешности. Но для коррекции нелинейности характеристики преобразования применялись только итерационные методы.
В [14] Мазиным В. Д. для коррекции погрешности измерительных параметрических преобразователей предложен метод сложного отношения (МСО), относящийся к методу образцовых сигналов, позволяющий скорректировать также нелинейную составляющую систематической погрешности. Метод сложного отношения использует аналогию между функциями параметрического и проективного преобразований и основан на фундаментальном свойстве проективной геометрии — инварианте сложного отношения. Свойства МСО в применении к параметрическим преобразователям исследовались в работах Мазина В. Д. [14] и Герасимова А. И.
Свойства МСО в применении к дробно-линейному АЦ преобразованию исследовались в [15]. В работе показано, что дробно-линейная характеристика преобразования свойственна не только параметрическим преобразованиям, но и большинству широкодиапазонных измерительных приборов. Поэтому МСО применим также и к ним. Метод сложного отношения основан на постоянстве (инвариантности) величины сложного отношения четырех произвольных точек измерительной шкалы при их проективном (с дробно-линейной характеристикой) измерительном преобразовании.
Зададим на шкале измеряемой величины Х четыре произвольные точки . Выполним преобразование прибором этих четырех точек шкалы и получим значения выходных кодов Тогда будет выполняться соотношение
(17)
Величина W сложного (двойного) отношения четырех точек шкалы является инвариантом проективного (дробно-линейного) преобразования, так как при любом проективном преобразовании шкалы Х в шкалу К сложное отношение произвольной группы четырех точек шкалы Х равно сложному отношению соответствующих точек шкалы К. По рассчитанному с помощью выходных кодов сложному отношению можно определить значение измеряемой величины Х по формуле
(18)
Наиболее эффективно метод сложного отношения осуществляет коррекцию систематических составляющих погрешности. При этом должны быть приняты меры по минимизации случайных составляющих погрешности.
В результате применения метода сложного отношения достигаются следующие результаты [16]:
Результирующая предельная относительная погрешность измерения методом сложного отношения задается погрешностью опорных сигналов Х1, Х2, Х3 и изменяется по шкале измеряемой величины в соответствии с трехчленной формулой (3).
Аддитивная, мультипликативная и гиперболическая (нелинейная) составляющие систематической погрешности измерительного прибора полностью корректируются при применении метода сложного отношения.
В целом, применение метода сложного отношения позволяет рассматривать измерительный тракт прибора от входного сигнала до выходного кода как «черный ящик», с дробно-линейной функцией преобразования. Это снимает повышенные требования к точности, стабильности элементов измерительного тракта и, соответственно, снижает их цену. При этом три образцовых сигнала на входе тракта преобразования выступают в качестве многозначной меры. Например, применение метода сложного отношения в расходомере газа «Прамер-210» позволило в 10 раз снизить предельную погрешность каналов измерения температуры и давления, выполнив их на основе простых малопотребляющих электронных компонентов [16].
В табл. 3 сведены для сравнения уравнения измерения и все рассмотренные характеристики линейного и дробно-линейного аналого-цифровых преобразований.
ВЫВОДЫ
• Как следует из таблиц 1 и 3, все выражения, справедливые для линейного преобразования, являются частным случаем выражений, справедливых для дробно-линейного преобразования.
• Предложенное дробно-линейное аналого-цифровое преобразование (6) на основе АЦП с линейной шкалой квантования позволяет существенно расширить функциональные возможности измерения по сравнению с возможностями линейного аналого-цифрового преобразования.
• Оценить преимущества применения дробно-линейных АЦП позволяют полученные выражения для критерия разрешающей способности (16) и отношения сигнал-шум квантования (14).
• Для повышения точности измерения линейных и дробно-линейных АЦП эффективно применение метода сложного отношения. Метод осуществляет коррекцию аддитивной, мультипликативной и нелинейной (гиперболической) составляющих систематической погрешности, соответствующих трехчленной формуле (3) нормирования предельной погрешности.
• Дробно-линейное аналого-цифровое преобразование более эффективно, чем линейное преобразование, решает задачи оптимизации погрешности квантования, расширения диапазона измерений, снижения разрядности преобразователя. И будет наиболее эффективно при исполнении дробно-линейного АЦП в виде функционально законченного узла.
ЛИТЕРАТУРА
1. Патент № 1336240 СССР Н ОЗМ 1/48 Способ аналого-цифрового преобразования / О. А. Цыбульский. Заявл. 26.08.85 Опубл. 07.09.87. Бюл. 33.
2. Цыбульский О. А. Инварианты измерительного преобразования // Законодательная и прикладная метрология. — 2011. — № 1. — С. 22–26.
3. Новицкий П. В. Основы информационной теории измерительных устройств. Л.: Энергия, 1968. 248 с.
4. Левин М. И., Прытков В. Т., Демидова-Панфилова Р. М., Кутяшова Е. М. Основы электроизмерительной техники. — М.: Энергия, 1972.
5. Цыбульский О. А. Погрешность широкодиапазонных измерений // Законодательная и пр икладная метрология-2010. — № 4. — С. 5–10.
6. Ефимов Н. В. Высшая геометрия. — М.: Наука, 1978. — C. 576.
7. Цыбульский О. А. Проективные свойства широкодиапазонных измерений // Измерительная техника. — 2013. — № 1. — С. 27–29.
8. Цыбульский О. А. «Критерий для обобщенной оценки широкодиапазонного прибора по точности и диапазону измерений» // Измерительная техника. — 2014. — № 5. — С. 5–7.
9. Цыбульский О. А. Дробно-линейное уравнение измерений. // Измерительная техника. — 2017. — № 5. — С. 25–30.
10. Патент на изобретение № 2618903 Н ОЗМ 1/48 Способ аналого-цифрового преобразования.
11. Цыбульский О. А. Приоритет от 25 февраля 2016 г.
12. Fred Tzeng. Compression-based A-to-D Converters: Reaching New Low Power Limits in Quantization // RTC Magazine, December 2010. Статья переведена в журнале «Электронные компоненты» № 10, 2011.
13. Аналого-цифровое преобразование / Под ред. Уолта Кестера. — М.: Техносфера, 2007.
14. Темников Ф. Е. Автоматические регистрирующие приборы, Машгиз, 1960.
15. Мазин В. Д. Способ повышения точности измерительных приборов и преобразователей // ИТ. — 1980. — № 6. — С. 14–15.
16. Цыбульский О. А. Применение метода сложного отношения в широкодиапазонных измерительных приборах // Измерительная техника. — 2013. — № 3. — С. 11–12.
17. Цыбульский О. А., Гумеров М. Ф. Применение метода сложного отношения для повышения точности измерения температуры и давления в счетчике-расходомере «Прамер-210» // Материалы XV Международной научно-практической конференции «Энергоресурсосбережение. Диагностика-2013» г. Димитровград, 26–28 марта 2013 г. — С. 110–118.
Отзывы читателей
