eng
Выпуск #5/2022
О.П.Познанский
МЕТОД ПЕРЕНОРМИРОВКИ СЛУЧАЙНОЙ ТРЕХКОМПОНЕНТНОЙ СИСТЕМЫ: ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭФФЕКТИВНОЙ ФУНКЦИИ ВОСПРИИМЧИВОСТИ
МЕТОД ПЕРЕНОРМИРОВКИ СЛУЧАЙНОЙ ТРЕХКОМПОНЕНТНОЙ СИСТЕМЫ: ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭФФЕКТИВНОЙ ФУНКЦИИ ВОСПРИИМЧИВОСТИ
Просмотры: 328
DOI: https://doi.org/10.22184/1993-8578.2022.15.5.272.289
В данной работе мы исследовали динамические характеристики эффективной восприимчивости случайной трехкомпонентной системы. Мы показали, что в случае большого расхождения статических локальных восприимчивостей эффективные динамические свойства аналогичны двухкомпонентной системе. Если же статические коэффициенты локальных динамических восприимчивостей компонентов приближаются друг к другу, сохраняя различие релаксационных частей, то проявляются особенности трехкомпонентной системы. В этом случае эффективная активная часть восприимчивости имеет два плато, а релаксирующая часть демонстрирует два максимума. Амплитуды максимумов для релаксирующей части зависят от доминирующей компоненты. Также мы исследовали случай двойной перколяции, показав, что эффективные свойства могут существенно меняться два раза при вариации доли одного из компонентов. В первом случае изменение связано с созданием перколяционного кластера, построенного из компонента (2), второе изменение связано с выдавливанием компонентов (2) и (3) компонентом (1), который строит вторичный перколяционный кластер.
В данной работе мы исследовали динамические характеристики эффективной восприимчивости случайной трехкомпонентной системы. Мы показали, что в случае большого расхождения статических локальных восприимчивостей эффективные динамические свойства аналогичны двухкомпонентной системе. Если же статические коэффициенты локальных динамических восприимчивостей компонентов приближаются друг к другу, сохраняя различие релаксационных частей, то проявляются особенности трехкомпонентной системы. В этом случае эффективная активная часть восприимчивости имеет два плато, а релаксирующая часть демонстрирует два максимума. Амплитуды максимумов для релаксирующей части зависят от доминирующей компоненты. Также мы исследовали случай двойной перколяции, показав, что эффективные свойства могут существенно меняться два раза при вариации доли одного из компонентов. В первом случае изменение связано с созданием перколяционного кластера, построенного из компонента (2), второе изменение связано с выдавливанием компонентов (2) и (3) компонентом (1), который строит вторичный перколяционный кластер.
Теги: double percolation hierarchical model polychromatic percolation renormalization method static and dynamic effective susceptibility двойная перколяция иерархическая модель метод ренормализации полихроматическая перколяция статическая и динамическая эффективная восприимчивость
Получено: 3.09.2021 г. | Принято: 25.12.2021 г. | DOI: https://doi.org/10.22184/1993-8578.2022.15.5.272.289
Научная статья
МЕТОД ПЕРЕНОРМИРОВКИ СЛУЧАЙНОЙ ТРЕХКОМПОНЕНТНОЙ СИСТЕМЫ: ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭФФЕКТИВНОЙ ФУНКЦИИ ВОСПРИИМЧИВОСТИ
О.П.Познанский1, к.ф.-м.н., ORCID: 0000-0003-3279-0337 / opoznans@gmail.com
Аннотация. В данной работе мы исследовали динамические характеристики эффективной восприимчивости случайной трехкомпонентной системы. Мы показали, что в случае большого расхождения статических локальных восприимчивостей эффективные динамические свойства аналогичны двухкомпонентной системе. Если же статические коэффициенты локальных динамических восприимчивостей компонентов приближаются друг к другу, сохраняя различие релаксационных частей, то проявляются особенности трехкомпонентной системы. В этом случае эффективная активная часть восприимчивости имеет два плато, а релаксирующая часть демонстрирует два максимума. Амплитуды максимумов для релаксирующей части зависят от доминирующей компоненты. Также мы исследовали случай двойной перколяции, показав, что эффективные свойства могут существенно меняться два раза при вариации доли одного из компонентов. В первом случае изменение связано с созданием перколяционного кластера, построенного из компонента (2), второе изменение связано с выдавливанием компонентов (2) и (3) компонентом (1), который строит вторичный перколяционный кластер.
Ключевые слова: Полихроматическая перколяция, двойная перколяция, иерархическая модель, метод ренормализации, статическая и динамическая эффективная восприимчивость
Для цитирования: О.П. Познанский. Метод перенормировки случайной трехкомпонентной системы: динамические характеристики эффективной функции восприимчивости. НАНОИНДУСТРИЯ. 2022. Т. 15, № 5. С. 272–289. https://doi.org/10.22184/1993-8578.2022.15.5.272.289
Received: 3.09.2021 | Accepted: 25.12.2021 | DOI: https://doi.org/10.22184/1993-8578.2022.15.5.272.289
Original paper
METHOD OF RENORMALIZATION OF THE RANDOM THREE-COMPONENT SYSTEM: DYNAMIC CHARACTERISTICS
OF THE EFFECTIVE SUSCEPTIBILITY FUNCTION
O.P.Posnansky1, Cand. of Sci. (Physics and Mathematics), ORCID: 0000-0003-3279-0337 / opoznans@gmail.com
Abstract. In this work we investigated dynamic characteristics of the effective susceptibility of random three-component system. We have shown that in the case of large discrepancy of the static local susceptibilities effective dynamic properties are similar to the two-component system. If static coefficients of local dynamic susceptibilities of the components approach each other keeping relaxation parts different, then peculiarities of the three-component system become apparent. In this case the effective active part of the susceptibility possesses two plateaus and the relaxing part demonstrates two maximums. Amplitudes of the maximums for relaxing part depend on the dominating component. Also we investigated a case of double percolation showing that the effective properties can change two times during variation of the fraction of one of the components. In the first case the change is associated with creation of the percolation cluster built from the component (2), the second change is linked to the extrusion of the component (2) and (3) by the component (1) which builds a secondary percolation cluster.
Keywords: polychromatic percolation, double percolation, hierarchical model, renormalization method, static and dynamic effective susceptibility
For citation: O.P. Posnansky. Method of renormalization of the random three-component system: dynamic characteristics of the effective susceptibility function. NANOINDUSTRY. 2022. V. 15, no. 5. PP. 272–289. https://doi.org/10.22184/1993-8578.2022.15.5.272.289
ВВЕДЕНИЕ
Теория перколяции [1, 2] находит применение в таких различных областях исследований, как переходы металл-изолятор [3, 4], процессы гелеобразования [5], течение жидкости в пористых средах [6] и вязкоупругость [7–9]. Для моделирования этих разнообразных физических явлений, как правило, каждый элемент решетки, представляющей двухкомпонентную систему, случайным образом находится в одном из двух возможных состояний. Например, при обычной перколяции связей, связь является "черной" с вероятностью p ∈ [0,1] или "белой" с вероятностью q = 1 – p.
Заллен [10] обобщил обычную двухкомпонентную задачу перколяции на многокомпонентную, которую он назвал полихроматической перколяцией и дал углубленное исследование ее характеристик. Физические свойства полихроматической перколяции были изучены Когутом и Стрэли [11], которые применили подходы двойной решетки и Монте-Карло в исследовании бикритической экспоненты проводимости. Позже Галли и др. [12] использовали моделирование конечных решеток и теорию эффективной среды для понимания проводимости неупорядоченных решеток, в которых присутствовало до четырех видов компонент. Впоследствии в работе Галли и др. [13] был представлен общий обзор проделанной к настоящему времени работы по полихроматическим перколяционным моделям. Развитые математические инструменты были успешно применены для объяснения экспериментов с прыжковой проводимостью [14–17], полидисперсных гранулированных материалов [18, 19], смесей натрий-аммиак и солей с переносом заряда [12, 13], высокотемпературной сверхпроводимости [20].
Мотивация проведения настоящей работы заключается в том, чтобы, во-первых, начать систематическое исследование свойств эффективной динамической восприимчивости для случая полихроматической перколяции, которая, как можно ожидать, в конечном итоге найдет широкое применение в реальных многокомпонентных системах, представляющих научный и технический интерес [30]. Во-вторых, мы исследуем идею иерархического усреднения и перенормировки в многокомпонентной перколяции и представим результаты для широкого диапазона концентраций составляющих компонентов.
В этой работе мы покажем, что эффективная динамическая восприимчивость случайной трехкомпонентной системы принципиально отличается от случая регулярной двухкомпонентной системы в нескольких важных отношениях. Это отличие можно объяснить с точки зрения микрогеометрии, а именно: в трехкомпонентных системах существуют два интерфейса. Помимо внешних поверхностей, существуют области, где все три компонента объединяются, влияя на динамику свойств эффективной восприимчивости.
Измерение эффективной динамической восприимчивости широко используется для характеристики сильно неупорядоченных композитных материалов и основано на соотношениях между макроскопическими свойствами и структурой на микроскопическом масштабе, соизмеримой с минимальной длиной неоднородности. Установление таких соотношений остается фундаментальной проблемой из-за отсутствия параметра возмущения. Впервые показано, что эффективная динамическая восприимчивость различает композиты с различной долей компонентов в широкополосном диапазоне частот. Наш подход позволяет интерпретировать измерения, объективно выбирая и моделируя наиболее значимые особенности параметров составляющих компонентов, что дает возможность предсказывать свойства метаматериалов.
ТЕОРИЯ
Иерархическая модель композита, состоящего из трех компонентов
Рассмотрим композит как трехкомпонентную случайную структуру, которая может быть отображена на двумерную (2D) квадратную решетку и исследована методами теории перколяции. Предположим, что каждая связь решетки окрашена в разные цвета: "черный" цвет с вероятностью p, "белый" с вероятностью q и "серый" с вероятностью r, представляющие компоненты композита и удовлетворяющие условию:
, (1)
где D~(p, q, r) – область вероятностей. Геометрически D~(p, q, r) изображает равносторонний многоугольник (треугольник), а вероятности p, q и r могут быть интерпретированы как компоненты вектора. Следует отметить, что регулярный двухкомпонентный композит в уравнении (1) восстанавливается, если либо p, либо q, или r равны нулю.
Физические свойства такого материала могут быть описаны обобщенной троичной локальной функцией плотности вероятности:
, (2)
где δ(x) – дельта-функция Дирака. В уравнении (2) каждая связь связана с ближайшими соседними узлами (km) в решетках N внутренних и NГ контактных граничных узлов. Она может принадлежать либо компонентам (1), (2) или (3), характеризуемым физическими параметрами G(1), G(2) и G(3) соответственно.
Мы моделируем глобальные (или эффективные) свойства материала со случайно распределенными локальными свойствами в соответствии с методом ренормализационной группы в реальном пространстве, введенным Рейнольдсом и др. [21–23]. Итерационное преобразование обобщенной функции плотности вероятности уравнения (2) определяется как [8]:
, (3)
где
. (4)
S это поверхность, охватывающая внутренние N узлы, NГ узлы на границе Г, и S\SГ поверхность, где узлы исключены. – эффективная функция восприимчивости решетки, очерченная через базовый элемент, ограниченный узлами (km), которая усреднялась по всем конфигурациям E таким образом, чтобы сохранить инвариантную форму уравнения (2) для каждого n-го масштаба рекурсивного построения иерархической решетки. В уравнении (4) множество E представляет собой объединение, ∪, соединенных, E(1)и E(2), и любых (т.е. соединенных и несвязанных), E(3), кластеров. Можно отметить, что число элементов в множестве E равно 35 = 243 для самодуальной ячейки-перенормировки, представленной на рис.1а.
Преобразование p, q и r в уравнении (3) соответствует полиномиальным функциям связности P(p, q, r), Q(p, q, r) и R(p, q, r), где
, (5a)
, (5b)
, (5c)
если провести перенормировку части решетки, как на рис.1а.
Следует отметить, что сумма всех коэффициентов в уравнении (5) равна количеству элементов в множестве E. Таким образом, итерационная рекурсия набора параметров {pn, qn, rn} определяется как:
, (6)
и уравнение (3) после упрощения может быть записано как:
, (7a)
где эффективная функция восприимчивости, , разделяется на компоненты (1), (2) и (3) в зависимости от связности связей во множестве E.
Решения уравнения (6) могут быть классифицированы на неустойчивые и устойчивые корни, (p*, q*, r*). Если возмущение входных параметров приводит впоследствии к одной из двух компонент, мы называем такие корни критическими и неустойчивыми. В свою очередь, если то же самое возмущение приводит к одной из трех компонент, мы называем эти корни неустойчивыми и бикритическими. Стабильные корни представляют собой решетку, полностью занятую одной из компонент (1), (2) или (3). Интересно, что неустойчивые критические точки также могут располагаться на линиях, разделяющих область вероятности на подобласти. Эти линии могут быть описаны уравнениями в параметрической форме:
, (7b)
, (7c)
где . Анализ таких особенностей уравнения (6) проводится в разделе "Результаты численного моделирования".
Если выполнить итерационную рекурсию в приближении уравнений (3, 6) достигая n → ∞, то три компоненты становятся неразличимыми, что приводит к объединению:
(8a)
и к сходимости троичных свойств уравнения (7a) к унарным
, (8b)
с эффективными свойствами, соответствующими компоненту (1), (2) или (3) в зависимости от выбора начальной вероятности (p0, q0, r0) на первом шаге итерации n = 0. Таким образом, область вероятности, D~(p, q, r), можно разделить на три области, где процесс перенормировки приводит к одному из соответствующих устойчивых корней:
, (8c)
. (8d)
Заметим, что при (p0 = p*, q0 = q*, r0 = r*) свойства компонентов аналогичны. Эти точки могут быть критическими или бикритическими и исключены из области вероятности, D~(p, q, r), согласно уравнению (8d).
В наших расчетах свойств композита мы предполагаем, что задано следующее соотношение между начальными вероятностями компонентов:
, (9a)
. (9b)
Отметим, что если α → 0, то q → 0 и трехкомпонентный композит приближается к двухкомпонентному со свойством p + r = 1. С другой стороны, если α → ∞, то r → 0, что в свою очередь приводит к p + q = 1. Геометрическая интерпретация условия, приведенного в уравнении (9), означает, что свойства исследуются вдоль линии, вписанной в область D(p, q, r).
В частном случае мы рассматриваем ситуацию, когда дуга, охватывающая области, D(1,0,0) (p, q, r), D(0,1,0) (p, q, r) и D(0,0,1) (p, q, r), представляет собой траекторию начальных вероятностей, удовлетворяющую уравнению (1). Такая траектория необходима для описания явления, называемого двойной перколяцией [24–26]. Было установлено, что это явление возникает в результате образования нерегулярного высокопроводящего слоя на границах между проводящим и изолирующим компонентами. Таким образом, система содержит три компонента. Экспериментально было установлено [24], что после достижения связного кластера, состоящего из одного из компонентов, он заменяется другим компонентом. Как следствие, это приводит к резкому изменению эффективных свойств дважды за время изменения доли одного из компонентов (рис.1d).
Траектория дуги может быть смоделирована частью обобщенной кривой суперэллипса [27], приведенной к параметрическому виду:
, (9c)
где , –π/6 ≤ и ≤ π/6, и a = b = 1. Мы выбрали n1 = 6 для создания супер-эллипса, встроенного в шестиугольник. Другие параметры n2 = 2 и n3 = n4 = 12 использовались для выявления эффекта двойной перколяции и создания максимальной амплитуды и кривизны острия параметрической кривой в выбранном сегменте. Увеличение n2 и уменьшение n3 приводит к уменьшению кривизны и амплитуды, и, как следствие, двойная перколяция может исчезнуть. Параметрическая кривая уравнению (9c) была нормализована и повернута для включения в многоугольник уравнения (1).
Локальная модель функции восприимчивости и ее эффективное значение
Мы используем модель Максвелла локальной динамической функции восприимчивости (или отклика) [28]:
, (10)
где τ – время релаксации; ω – частота внешнего поля; G – константа активной составляющей (или локальной статической восприимчивости). Характеристическая частота, ω0, может быть определена как ω0 = 1/τ. На начальном уровне (n = 0) итерационной процедуры следующее объединение
(11)
безразмерных функций отклика представляет параметры трех компонентов в обобщенной функции плотности вероятности в уравнениях (2, 7a). В уравнении (11) параметры активной компоненты нормированы на G1 в дальней частотной области, ω >> ω0. Например, если наложить неравенства G1> G2 > G3 и τ1 > τ2 > τ3, то компонента (1) медленно релаксирует с очень большой постоянной активной части, а быстрая релаксация и наименьшая постоянная активной части представляют компоненту (3).
Баланс всех сил в любом месте композита предполагает закон сохранения:
, (12)
если uk – смещение на k-м узле. Распределение локальных обобщенных восприимчивостей, G*(km), в уравнении (12) подчиняется уравнению (7a) и на каждом шаге n перенормировки должно зависеть от индекса, то есть G*(km), n в общем случае.
Граничное условие Дирихле в уравнении (12) соответствует на левой, Г+, и правой, Г–, сторонах элементарной ячейки соответственно (рис.1а). В уравнении (12) мы предполагаем постоянную решетки a = 1. Используя символ дельты Кронекера, δkm, можно ввести матрицу функций отклика, , в которой элемент матрицы, , задается как:
, (13)
и переписать уравнение (12) в виде линейного уравнения:
, (14)
где ck обозначает внешнюю силу, которая равна нулю, но на правой боковой границе.
После решения уравнения (14) относительно неизвестных um находим эквивалентную восприимчивость решетки по уравнению (3), выраженную в виде:
, (15)
где узлы k взяты только для левой контактирующей границы Г+. Из структуры величин в уравнениях (10, 11, 15) видно, что эквивалентные функции восприимчивости, , являются комплексно-значными с активной вещественной и релаксирующей мнимой частями. Статистическое усреднение уравнения (15) должно быть выполнено в соответствии с распределением в уравнении (2) по всему множеству E, дающему эффективные восприимчивости , для
связанных и несвязанных кластеров. Выполняя итерационную процедуру, мы приближаемся к стабильным эффективным восприимчивостям в соответствии с уравнением (8a), которые анализируются в следующем разделе.
Результаты численного моделирования
Для проведения численного анализа эффективной функции восприимчивости мы, прежде всего, анализируем перенормировочный поток долей компонент во время процедуры перенормировки. Для этого мы построили сетку с координатами узлов (p0, q0, r0), удовлетворяющих уравнению (1). Затем мы выполняем преобразование в соответствии с уравнениями (5, 6). Это преобразование дает новую сетку с узлами (p1, q1, r1). Векторное поле потока перенормировки может быть построено как (p1 – p0, q1 – q0, r1 – r0), а затем присвоено исходной сетке. Максимальная норма любого вектора не может превышать 1, а минимальная норма ограничена 0. На рис.1b показан треугольник, описываемый уравнением (1), рассматриваемый с вершины его нормального вектора, . Стрелки представляют поток перенормировки, спроецированный на многоугольник. Поток достигает минимальной нормы в углах треугольника в вершинах A, B и C на рис.1b. Это устойчивые точки перенормировки, поскольку векторное поле сходится к ним с любого направления.
Уравнения 5, 6 позволяют ввести красно-зелено-синюю схему цветового кодирования, где красный цвет соответствует устойчивой вершине A =(1, 0, 0), зеленый B=(0, 1, 0) и синий C=(0, 0, 1). Смесь цветов представлена вектором (P(p0, q0, r0), Q(p0, q0, r0), R(p0, q0, r0)) из уравнения (5), который в общем случае не выровнен ни по одной из декартовых осей. Этот цветовой фон продемонстрирован и на рис.1b.
В определенных точках многоугольника на рис.1b векторное поле расходится в две или три точки множества {A, B, C}. Минимальная норма потока может быть найдена в окрестности точек L5 = (0.5, 0.5, 0.0), L4 = (0.5, 0.0, 0.5), L2 = (0.0, 0.5, 0.5) на ребрах треугольника. Это неустойчивые точки перенормировки, поскольку векторное поле там расходится. Между ними можно выделить критические точки, L4 и L5, характеризующиеся возможностью расхождения в направлении одной из двух компонент. Бикритическая точка, L2, характеризуется возможностью расхождения в направлении одной из трех компонент. Интересно, что мы можем найти две линии, L2L4 и L2L5, на которых расположены неустойчивые критические точки. Эти линии перенормировки вдоль ребер AB, BC, AC соответствуют двухкомпонентному композиту. Функции P(p, q, r), Q(p, q, r) и R(p, q, r) построены на рис.1c в соответствии с уравнениями (5), если r, p или q заданы 0 соответственно. Зигзагообразная траектория представляет собой эволюцию уравнения (6). Число итераций для построения иерархической решетки во время процедуры перенормировки определяется ограничением |pn – pn+1| ≤ 1–3 и представлено на том же рис.1c.
Мы варьируем параметр p, сохраняя неизменным соотношение α между остальными компонентами (уравнения (9a,b)). Такая процедура, например, соответствует линиям AB, AL1, AL2, AL3, AC, изображенным на рис.1b как исходящие из вершины A. Тестовые значения параметра α приведены в табл.1. Мы также используем дугу (уравнения 9c) как путь вариационного параметра p, представленного в виде части супер-эллипса, для моделирования эффекта двойной перколяции.
Для описания внешней нагрузки в нашем расчете было выбрано частотное окно ω = [10–3; 102], рад/сек. Действительная (т.е. активная) и мнимая (т.е. релаксирующая) части эффективной восприимчивости могут быть представлены в виде поверхностей в логарифмическом масштабе как функции частоты (в логарифмическом масштабе) и доли p. Здесь логарифмическая шкала помогает сравнивать величины с большим разбросом. Для оценки чувствительности эффективных значений к входным параметрам мы наложили контурную кривую на поверхности с уровнем –4 во всех случаях. Мы также спроецировали эту кривую на плоскость (log 10(ωτ), p. Поверхности действительной и мнимой частей эффективной восприимчивости имеют цветовую кодировку, где красный и синий цвета соответствуют соответственно минимальному и максимальному расстоянию точки на поверхности относительно уровня 0. Цветовая схема поверхностей проецируется на плоскость для облегчения количественной оценки параметров.
На рис.2 мы демонстрируем эффективную восприимчивость вдоль линий AB и AC с рис.1b, соответствующих двухкомпонентному композиту с параметрами, взятыми из табл.1. Формально изменение p вдоль этих линий определяется через α → 0 и α → ∞ (в наших численных расчетах α = 1000). На рис.2а и рис.2c видно, что в высокочастотном пределе, ωτ → ∞, реальная часть динамической функции эффективной восприимчивости приближается к своим статическим значениям для компонентов (3) или (2) из табл.1, если p → 0. С другой стороны, активная часть эффективной восприимчивости не зависит от частоты, если при p → 1 принять значение, соответствующее компоненту (1) из табл.1. В низкочастотном пределе, ωτ → 0, реальная часть эффективной восприимчивости демонстрирует линейную зависимость, которая переходит в плато вблизи характерных частот ω2 → 1/τ2 (рис.2c) и ω3 → 1/τ3 (рис.2a) при p < p*. Переход соответствует максимуму мнимой части эффективной восприимчивости на тех же характерных частотах (рис.2b,d).
Характерная частота смещается к нижнему пределу, если мы увеличиваем долю p → p*. В точке p = p* наблюдается скачок действительной и максимум мнимой частей эффективной восприимчивости. Кроме того, мнимая часть эффективной восприимчивости достигает своего глобального максимума на характеристической частоте при p = p*.
На рис.3 представлены результаты расчета эффективной восприимчивости для трехкомпонентной системы (параметры приведены в табл.1). Траектория проходит по линиям AL1 и AL3 (рис.1b). Из-за большой разницы в начальных статических восприимчивостях компонентов (2) и (3), т.е. G(2),0 >> G(3),0, поведение эффективной восприимчивости очень похоже на поведение двухкомпонентной системы, описанной ранее.
В отличие от предыдущей ситуации, если начальные статические восприимчивости компонентов (2) и (3) приближаются друг к другу, мы можем наблюдать эффекты, характерные для трехкомпонентной системы. Для моделирования сохраним то же соотношение начальных времен релаксации, но предположим G(1),0 > G(2),0 = G(3),0 (см. табл. 1) и проследим за линиями AL1, AL2 и AL3 (рис. 1b).
В этом случае эффективная активная часть не очень чувствительна к α, хотя мы наблюдаем небольшое складывание плато вблизи ω2 и ω3 (рис.4 a,c,e). Это можно оценить по изоконтурной кривой, спроецированной на плоскость (log 10(ωτ), p). Для случая эффективной активной части мы видим два сдвига и три плато, если рассматривать проекцию изоконтурной кривой. Для лучшей оценки эффекта на рис.4h мы построили график эффективной активной части p → 0 как в логарифмическом масштабе (серая цветная кривая), так и без нее (черная цветная кривая). Здесь мы наблюдаем два перехода вблизи характерных частот, ω2 и ω3 (тонкие штриховые линии).
В то же время эффективная релаксационная компонента демонстрирует высокую чувствительность к параметру α. Мы наблюдаем два различных максимума эффективной восприимчивости на линии перколяции p = p* (рис.4b–f). Если α = 0,5, то глобальный максимум смещен к высоким частотам (рис.4b). В случае α = 1 максимумы на высоких и низких частотах почти одинаковы (рис.4d). Для α = 2 максимум смещен в сторону низких частот (рис.4f).
Мы также можем продемонстрировать явление двойной перколяции, описанное в работах [24–26]. Для этого траектория начальных концентраций соответствует дуге (рис.1b и уравнение (9c)). Следование этой траектории означает достижение перколяции компоненты (2) вблизи края BC, затем одновременное уменьшение долей компонентов (2) и (3) и увеличение доли компонента (1) приближает нас к стабильной точке A на краю AC. Такое преобразование предполагает, что перколяционный кластер, образованный из компоненты (2), впоследствии заменяется перколяционным кластером, образованным из компоненты (1). Результат продемонстрирован на рис.5 для различных начальных значений активных компонент, собранных в табл.1. Для простоты предполагается, что скорость релаксации одинакова для всех соединений.
На рис.5 можно заметить, что эффективная восприимчивость существенно изменяется в два раза вблизи p = pI ≈ 0,1 и p = pII ≈ 0,8. В зависимости от начальных активных значений мы моделируем три возможные ситуации изменения эффективной восприимчивости как функции концентрации p, а именно, эффективная восприимчивость может быть вогнутой (рис.5а), возрастающей (рис.5с) и выпуклой (рис.5е) функцией вдоль параметра p. Для оценки степени эффекта мы построили график реальной части эффективной восприимчивости с пределом ωτ → ∞ (рис.5h) в логарифмическом масштабе и без него.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данной работе мы исследовали свойства восприимчивости случайной трехкомпонентной системы с помощью недавно разработанного подхода иерархического усреднения по масштабу. Показано, что в случае большого расхождения статических локальных восприимчивостей динамические эффективные свойства аналогичны двухкомпонентной системе. Если статические восприимчивости компонентов (2) и (3) приближаются друг к другу, сохраняя различие релаксационных частей, то проявляются особенности трехкомпонентной системы. В этом случае эффективная активная часть имеет два плато, а релаксирующая часть демонстрирует два максимума. Амплитуды максимумов для релаксирующей части зависят от доминирующего компонента.
Также впервые исследован случай двойной перколяции, показавший, что динамические эффективные свойства восприимчивости меняются два раза. В первом случае изменение связано с созданием перколяционного кластера, построенного из компоненты (2), второе изменение связано с выдавливанием компонент (2) и (3) компонентой (1), которая строит вторичный перколяционный кластер.
ПРИЛОЖЕНИЕ А
Вращения в трех измерениях могут быть эквивалентно описаны одним из SO (3) или SU (2) представлений [29]. В первом представлении используются матрицы вращения 3 × 3 и векторы 3 × 1. Матрицы ортонормальны и их матричные элементы вещественны. В этом представлении SU (2) общая матрица вращения U может быть записана в виде:
, (A1)
которая действует на функцию z = f(x, y) в уравнении (9c) и задается как
. (A2)
Элементы матрицы U – комплексные числа, известные как параметры Кейли-Клейна, а звездочка обозначает комплексное сопряжение. Матрица U унитарна и эрмитова. Общее вращение может быть записано:
, (A3)
где символ Н – эрмитово сопряжение. В терминах углов Эйлера общая матрица U вращения может быть разложена:
(A4)
и
. (A5)
Математическое упрощение, обеспечиваемое представлением SU (2), является следствием меньшего числа ограничений. Эта ситуация аналогична решению системы линейных уравнений, где почти всегда проще решить меньшее число уравнений с меньшим числом ограничений. Для нашего приложения мы объединили вращения и трансляционные преобразования:
, (A6)
где ψ = 0, Ѳ1 = –90°, Ѳ2 = –45°, ϕ = 125,26 и
. (A7)
Кривая, описанная в уравнении (9c), может быть представлена в соответствии с уравнением (A6) для вложения в область вероятности.
ИНФОРМАЦИЯ О РЕЦЕНЗИРОВАНИИ
Редакция благодарит анонимного рецензента (рецензентов) за их вклад в рецензирование этой работы, а также за размещение статей на сайте журнала и передачу их в электронном виде в НЭБ eLIBRARY.RU.
ЛИТЕРАТУРА / REFERENCES
Broadbent S.R., Hammersley J.M. Proc. Camb. Phil. Soc. 53, 629 (1957).
Stauffer D. Scaling theory of percolation clusters, Physics Reports 54 (1), 1 (1979).
Shklovskii B.I., Efros A.L. Electronic Properties of Doped Semiconductors, Springer Series in Solid State Sciences, 45 (Springer-Verlag, Berlin, 1984).
Kirkpatrick S. Percolation and conduction, Rev. Mod. Phys. 45, 574 (1973).
Herrmann H.J. Geometrical cluster growth models and kinetic gelation, Physics Reports 136 (3), 153 (1980).
Thompson A.H., Katz A.J., Krohn C.E. The microgeometry and transport properties of sedimentary rock, Advances in Physics 36 (5), 625 (1987).
Du F., Scogna R.C., Zhou W., Brand S., Fischer J.E., Karen I. Winey, Nanotube Networks in Polymer Nanocomposites: Rheology and Electrical Conductivity, Macromolecules 37, 9048 (2004).
Posnansky O.P. On the influence of microscopic architecture elements to the global viscoelastic properties of soft biological tissue, Physica D: Nonlinear Phenomena 289, 1 (2014).
Posnansky O., Guo J., Hirsch S., Papazoglou S., Braun J., Sack I. Fractal network dimension and Viscoelastic powerlaw behav
Научная статья
МЕТОД ПЕРЕНОРМИРОВКИ СЛУЧАЙНОЙ ТРЕХКОМПОНЕНТНОЙ СИСТЕМЫ: ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭФФЕКТИВНОЙ ФУНКЦИИ ВОСПРИИМЧИВОСТИ
О.П.Познанский1, к.ф.-м.н., ORCID: 0000-0003-3279-0337 / opoznans@gmail.com
Аннотация. В данной работе мы исследовали динамические характеристики эффективной восприимчивости случайной трехкомпонентной системы. Мы показали, что в случае большого расхождения статических локальных восприимчивостей эффективные динамические свойства аналогичны двухкомпонентной системе. Если же статические коэффициенты локальных динамических восприимчивостей компонентов приближаются друг к другу, сохраняя различие релаксационных частей, то проявляются особенности трехкомпонентной системы. В этом случае эффективная активная часть восприимчивости имеет два плато, а релаксирующая часть демонстрирует два максимума. Амплитуды максимумов для релаксирующей части зависят от доминирующей компоненты. Также мы исследовали случай двойной перколяции, показав, что эффективные свойства могут существенно меняться два раза при вариации доли одного из компонентов. В первом случае изменение связано с созданием перколяционного кластера, построенного из компонента (2), второе изменение связано с выдавливанием компонентов (2) и (3) компонентом (1), который строит вторичный перколяционный кластер.
Ключевые слова: Полихроматическая перколяция, двойная перколяция, иерархическая модель, метод ренормализации, статическая и динамическая эффективная восприимчивость
Для цитирования: О.П. Познанский. Метод перенормировки случайной трехкомпонентной системы: динамические характеристики эффективной функции восприимчивости. НАНОИНДУСТРИЯ. 2022. Т. 15, № 5. С. 272–289. https://doi.org/10.22184/1993-8578.2022.15.5.272.289
Received: 3.09.2021 | Accepted: 25.12.2021 | DOI: https://doi.org/10.22184/1993-8578.2022.15.5.272.289
Original paper
METHOD OF RENORMALIZATION OF THE RANDOM THREE-COMPONENT SYSTEM: DYNAMIC CHARACTERISTICS
OF THE EFFECTIVE SUSCEPTIBILITY FUNCTION
O.P.Posnansky1, Cand. of Sci. (Physics and Mathematics), ORCID: 0000-0003-3279-0337 / opoznans@gmail.com
Abstract. In this work we investigated dynamic characteristics of the effective susceptibility of random three-component system. We have shown that in the case of large discrepancy of the static local susceptibilities effective dynamic properties are similar to the two-component system. If static coefficients of local dynamic susceptibilities of the components approach each other keeping relaxation parts different, then peculiarities of the three-component system become apparent. In this case the effective active part of the susceptibility possesses two plateaus and the relaxing part demonstrates two maximums. Amplitudes of the maximums for relaxing part depend on the dominating component. Also we investigated a case of double percolation showing that the effective properties can change two times during variation of the fraction of one of the components. In the first case the change is associated with creation of the percolation cluster built from the component (2), the second change is linked to the extrusion of the component (2) and (3) by the component (1) which builds a secondary percolation cluster.
Keywords: polychromatic percolation, double percolation, hierarchical model, renormalization method, static and dynamic effective susceptibility
For citation: O.P. Posnansky. Method of renormalization of the random three-component system: dynamic characteristics of the effective susceptibility function. NANOINDUSTRY. 2022. V. 15, no. 5. PP. 272–289. https://doi.org/10.22184/1993-8578.2022.15.5.272.289
ВВЕДЕНИЕ
Теория перколяции [1, 2] находит применение в таких различных областях исследований, как переходы металл-изолятор [3, 4], процессы гелеобразования [5], течение жидкости в пористых средах [6] и вязкоупругость [7–9]. Для моделирования этих разнообразных физических явлений, как правило, каждый элемент решетки, представляющей двухкомпонентную систему, случайным образом находится в одном из двух возможных состояний. Например, при обычной перколяции связей, связь является "черной" с вероятностью p ∈ [0,1] или "белой" с вероятностью q = 1 – p.
Заллен [10] обобщил обычную двухкомпонентную задачу перколяции на многокомпонентную, которую он назвал полихроматической перколяцией и дал углубленное исследование ее характеристик. Физические свойства полихроматической перколяции были изучены Когутом и Стрэли [11], которые применили подходы двойной решетки и Монте-Карло в исследовании бикритической экспоненты проводимости. Позже Галли и др. [12] использовали моделирование конечных решеток и теорию эффективной среды для понимания проводимости неупорядоченных решеток, в которых присутствовало до четырех видов компонент. Впоследствии в работе Галли и др. [13] был представлен общий обзор проделанной к настоящему времени работы по полихроматическим перколяционным моделям. Развитые математические инструменты были успешно применены для объяснения экспериментов с прыжковой проводимостью [14–17], полидисперсных гранулированных материалов [18, 19], смесей натрий-аммиак и солей с переносом заряда [12, 13], высокотемпературной сверхпроводимости [20].
Мотивация проведения настоящей работы заключается в том, чтобы, во-первых, начать систематическое исследование свойств эффективной динамической восприимчивости для случая полихроматической перколяции, которая, как можно ожидать, в конечном итоге найдет широкое применение в реальных многокомпонентных системах, представляющих научный и технический интерес [30]. Во-вторых, мы исследуем идею иерархического усреднения и перенормировки в многокомпонентной перколяции и представим результаты для широкого диапазона концентраций составляющих компонентов.
В этой работе мы покажем, что эффективная динамическая восприимчивость случайной трехкомпонентной системы принципиально отличается от случая регулярной двухкомпонентной системы в нескольких важных отношениях. Это отличие можно объяснить с точки зрения микрогеометрии, а именно: в трехкомпонентных системах существуют два интерфейса. Помимо внешних поверхностей, существуют области, где все три компонента объединяются, влияя на динамику свойств эффективной восприимчивости.
Измерение эффективной динамической восприимчивости широко используется для характеристики сильно неупорядоченных композитных материалов и основано на соотношениях между макроскопическими свойствами и структурой на микроскопическом масштабе, соизмеримой с минимальной длиной неоднородности. Установление таких соотношений остается фундаментальной проблемой из-за отсутствия параметра возмущения. Впервые показано, что эффективная динамическая восприимчивость различает композиты с различной долей компонентов в широкополосном диапазоне частот. Наш подход позволяет интерпретировать измерения, объективно выбирая и моделируя наиболее значимые особенности параметров составляющих компонентов, что дает возможность предсказывать свойства метаматериалов.
ТЕОРИЯ
Иерархическая модель композита, состоящего из трех компонентов
Рассмотрим композит как трехкомпонентную случайную структуру, которая может быть отображена на двумерную (2D) квадратную решетку и исследована методами теории перколяции. Предположим, что каждая связь решетки окрашена в разные цвета: "черный" цвет с вероятностью p, "белый" с вероятностью q и "серый" с вероятностью r, представляющие компоненты композита и удовлетворяющие условию:
, (1)
где D~(p, q, r) – область вероятностей. Геометрически D~(p, q, r) изображает равносторонний многоугольник (треугольник), а вероятности p, q и r могут быть интерпретированы как компоненты вектора. Следует отметить, что регулярный двухкомпонентный композит в уравнении (1) восстанавливается, если либо p, либо q, или r равны нулю.
Физические свойства такого материала могут быть описаны обобщенной троичной локальной функцией плотности вероятности:
, (2)
где δ(x) – дельта-функция Дирака. В уравнении (2) каждая связь связана с ближайшими соседними узлами (km) в решетках N внутренних и NГ контактных граничных узлов. Она может принадлежать либо компонентам (1), (2) или (3), характеризуемым физическими параметрами G(1), G(2) и G(3) соответственно.
Мы моделируем глобальные (или эффективные) свойства материала со случайно распределенными локальными свойствами в соответствии с методом ренормализационной группы в реальном пространстве, введенным Рейнольдсом и др. [21–23]. Итерационное преобразование обобщенной функции плотности вероятности уравнения (2) определяется как [8]:
, (3)
где
. (4)
S это поверхность, охватывающая внутренние N узлы, NГ узлы на границе Г, и S\SГ поверхность, где узлы исключены. – эффективная функция восприимчивости решетки, очерченная через базовый элемент, ограниченный узлами (km), которая усреднялась по всем конфигурациям E таким образом, чтобы сохранить инвариантную форму уравнения (2) для каждого n-го масштаба рекурсивного построения иерархической решетки. В уравнении (4) множество E представляет собой объединение, ∪, соединенных, E(1)и E(2), и любых (т.е. соединенных и несвязанных), E(3), кластеров. Можно отметить, что число элементов в множестве E равно 35 = 243 для самодуальной ячейки-перенормировки, представленной на рис.1а.
Преобразование p, q и r в уравнении (3) соответствует полиномиальным функциям связности P(p, q, r), Q(p, q, r) и R(p, q, r), где
, (5a)
, (5b)
, (5c)
если провести перенормировку части решетки, как на рис.1а.
Следует отметить, что сумма всех коэффициентов в уравнении (5) равна количеству элементов в множестве E. Таким образом, итерационная рекурсия набора параметров {pn, qn, rn} определяется как:
, (6)
и уравнение (3) после упрощения может быть записано как:
, (7a)
где эффективная функция восприимчивости, , разделяется на компоненты (1), (2) и (3) в зависимости от связности связей во множестве E.
Решения уравнения (6) могут быть классифицированы на неустойчивые и устойчивые корни, (p*, q*, r*). Если возмущение входных параметров приводит впоследствии к одной из двух компонент, мы называем такие корни критическими и неустойчивыми. В свою очередь, если то же самое возмущение приводит к одной из трех компонент, мы называем эти корни неустойчивыми и бикритическими. Стабильные корни представляют собой решетку, полностью занятую одной из компонент (1), (2) или (3). Интересно, что неустойчивые критические точки также могут располагаться на линиях, разделяющих область вероятности на подобласти. Эти линии могут быть описаны уравнениями в параметрической форме:
, (7b)
, (7c)
где . Анализ таких особенностей уравнения (6) проводится в разделе "Результаты численного моделирования".
Если выполнить итерационную рекурсию в приближении уравнений (3, 6) достигая n → ∞, то три компоненты становятся неразличимыми, что приводит к объединению:
(8a)
и к сходимости троичных свойств уравнения (7a) к унарным
, (8b)
с эффективными свойствами, соответствующими компоненту (1), (2) или (3) в зависимости от выбора начальной вероятности (p0, q0, r0) на первом шаге итерации n = 0. Таким образом, область вероятности, D~(p, q, r), можно разделить на три области, где процесс перенормировки приводит к одному из соответствующих устойчивых корней:
, (8c)
. (8d)
Заметим, что при (p0 = p*, q0 = q*, r0 = r*) свойства компонентов аналогичны. Эти точки могут быть критическими или бикритическими и исключены из области вероятности, D~(p, q, r), согласно уравнению (8d).
В наших расчетах свойств композита мы предполагаем, что задано следующее соотношение между начальными вероятностями компонентов:
, (9a)
. (9b)
Отметим, что если α → 0, то q → 0 и трехкомпонентный композит приближается к двухкомпонентному со свойством p + r = 1. С другой стороны, если α → ∞, то r → 0, что в свою очередь приводит к p + q = 1. Геометрическая интерпретация условия, приведенного в уравнении (9), означает, что свойства исследуются вдоль линии, вписанной в область D(p, q, r).
В частном случае мы рассматриваем ситуацию, когда дуга, охватывающая области, D(1,0,0) (p, q, r), D(0,1,0) (p, q, r) и D(0,0,1) (p, q, r), представляет собой траекторию начальных вероятностей, удовлетворяющую уравнению (1). Такая траектория необходима для описания явления, называемого двойной перколяцией [24–26]. Было установлено, что это явление возникает в результате образования нерегулярного высокопроводящего слоя на границах между проводящим и изолирующим компонентами. Таким образом, система содержит три компонента. Экспериментально было установлено [24], что после достижения связного кластера, состоящего из одного из компонентов, он заменяется другим компонентом. Как следствие, это приводит к резкому изменению эффективных свойств дважды за время изменения доли одного из компонентов (рис.1d).
Траектория дуги может быть смоделирована частью обобщенной кривой суперэллипса [27], приведенной к параметрическому виду:
, (9c)
где , –π/6 ≤ и ≤ π/6, и a = b = 1. Мы выбрали n1 = 6 для создания супер-эллипса, встроенного в шестиугольник. Другие параметры n2 = 2 и n3 = n4 = 12 использовались для выявления эффекта двойной перколяции и создания максимальной амплитуды и кривизны острия параметрической кривой в выбранном сегменте. Увеличение n2 и уменьшение n3 приводит к уменьшению кривизны и амплитуды, и, как следствие, двойная перколяция может исчезнуть. Параметрическая кривая уравнению (9c) была нормализована и повернута для включения в многоугольник уравнения (1).
Локальная модель функции восприимчивости и ее эффективное значение
Мы используем модель Максвелла локальной динамической функции восприимчивости (или отклика) [28]:
, (10)
где τ – время релаксации; ω – частота внешнего поля; G – константа активной составляющей (или локальной статической восприимчивости). Характеристическая частота, ω0, может быть определена как ω0 = 1/τ. На начальном уровне (n = 0) итерационной процедуры следующее объединение
(11)
безразмерных функций отклика представляет параметры трех компонентов в обобщенной функции плотности вероятности в уравнениях (2, 7a). В уравнении (11) параметры активной компоненты нормированы на G1 в дальней частотной области, ω >> ω0. Например, если наложить неравенства G1> G2 > G3 и τ1 > τ2 > τ3, то компонента (1) медленно релаксирует с очень большой постоянной активной части, а быстрая релаксация и наименьшая постоянная активной части представляют компоненту (3).
Баланс всех сил в любом месте композита предполагает закон сохранения:
, (12)
если uk – смещение на k-м узле. Распределение локальных обобщенных восприимчивостей, G*(km), в уравнении (12) подчиняется уравнению (7a) и на каждом шаге n перенормировки должно зависеть от индекса, то есть G*(km), n в общем случае.
Граничное условие Дирихле в уравнении (12) соответствует на левой, Г+, и правой, Г–, сторонах элементарной ячейки соответственно (рис.1а). В уравнении (12) мы предполагаем постоянную решетки a = 1. Используя символ дельты Кронекера, δkm, можно ввести матрицу функций отклика, , в которой элемент матрицы, , задается как:
, (13)
и переписать уравнение (12) в виде линейного уравнения:
, (14)
где ck обозначает внешнюю силу, которая равна нулю, но на правой боковой границе.
После решения уравнения (14) относительно неизвестных um находим эквивалентную восприимчивость решетки по уравнению (3), выраженную в виде:
, (15)
где узлы k взяты только для левой контактирующей границы Г+. Из структуры величин в уравнениях (10, 11, 15) видно, что эквивалентные функции восприимчивости, , являются комплексно-значными с активной вещественной и релаксирующей мнимой частями. Статистическое усреднение уравнения (15) должно быть выполнено в соответствии с распределением в уравнении (2) по всему множеству E, дающему эффективные восприимчивости , для
связанных и несвязанных кластеров. Выполняя итерационную процедуру, мы приближаемся к стабильным эффективным восприимчивостям в соответствии с уравнением (8a), которые анализируются в следующем разделе.
Результаты численного моделирования
Для проведения численного анализа эффективной функции восприимчивости мы, прежде всего, анализируем перенормировочный поток долей компонент во время процедуры перенормировки. Для этого мы построили сетку с координатами узлов (p0, q0, r0), удовлетворяющих уравнению (1). Затем мы выполняем преобразование в соответствии с уравнениями (5, 6). Это преобразование дает новую сетку с узлами (p1, q1, r1). Векторное поле потока перенормировки может быть построено как (p1 – p0, q1 – q0, r1 – r0), а затем присвоено исходной сетке. Максимальная норма любого вектора не может превышать 1, а минимальная норма ограничена 0. На рис.1b показан треугольник, описываемый уравнением (1), рассматриваемый с вершины его нормального вектора, . Стрелки представляют поток перенормировки, спроецированный на многоугольник. Поток достигает минимальной нормы в углах треугольника в вершинах A, B и C на рис.1b. Это устойчивые точки перенормировки, поскольку векторное поле сходится к ним с любого направления.
Уравнения 5, 6 позволяют ввести красно-зелено-синюю схему цветового кодирования, где красный цвет соответствует устойчивой вершине A =(1, 0, 0), зеленый B=(0, 1, 0) и синий C=(0, 0, 1). Смесь цветов представлена вектором (P(p0, q0, r0), Q(p0, q0, r0), R(p0, q0, r0)) из уравнения (5), который в общем случае не выровнен ни по одной из декартовых осей. Этот цветовой фон продемонстрирован и на рис.1b.
В определенных точках многоугольника на рис.1b векторное поле расходится в две или три точки множества {A, B, C}. Минимальная норма потока может быть найдена в окрестности точек L5 = (0.5, 0.5, 0.0), L4 = (0.5, 0.0, 0.5), L2 = (0.0, 0.5, 0.5) на ребрах треугольника. Это неустойчивые точки перенормировки, поскольку векторное поле там расходится. Между ними можно выделить критические точки, L4 и L5, характеризующиеся возможностью расхождения в направлении одной из двух компонент. Бикритическая точка, L2, характеризуется возможностью расхождения в направлении одной из трех компонент. Интересно, что мы можем найти две линии, L2L4 и L2L5, на которых расположены неустойчивые критические точки. Эти линии перенормировки вдоль ребер AB, BC, AC соответствуют двухкомпонентному композиту. Функции P(p, q, r), Q(p, q, r) и R(p, q, r) построены на рис.1c в соответствии с уравнениями (5), если r, p или q заданы 0 соответственно. Зигзагообразная траектория представляет собой эволюцию уравнения (6). Число итераций для построения иерархической решетки во время процедуры перенормировки определяется ограничением |pn – pn+1| ≤ 1–3 и представлено на том же рис.1c.
Мы варьируем параметр p, сохраняя неизменным соотношение α между остальными компонентами (уравнения (9a,b)). Такая процедура, например, соответствует линиям AB, AL1, AL2, AL3, AC, изображенным на рис.1b как исходящие из вершины A. Тестовые значения параметра α приведены в табл.1. Мы также используем дугу (уравнения 9c) как путь вариационного параметра p, представленного в виде части супер-эллипса, для моделирования эффекта двойной перколяции.
Для описания внешней нагрузки в нашем расчете было выбрано частотное окно ω = [10–3; 102], рад/сек. Действительная (т.е. активная) и мнимая (т.е. релаксирующая) части эффективной восприимчивости могут быть представлены в виде поверхностей в логарифмическом масштабе как функции частоты (в логарифмическом масштабе) и доли p. Здесь логарифмическая шкала помогает сравнивать величины с большим разбросом. Для оценки чувствительности эффективных значений к входным параметрам мы наложили контурную кривую на поверхности с уровнем –4 во всех случаях. Мы также спроецировали эту кривую на плоскость (log 10(ωτ), p. Поверхности действительной и мнимой частей эффективной восприимчивости имеют цветовую кодировку, где красный и синий цвета соответствуют соответственно минимальному и максимальному расстоянию точки на поверхности относительно уровня 0. Цветовая схема поверхностей проецируется на плоскость для облегчения количественной оценки параметров.
На рис.2 мы демонстрируем эффективную восприимчивость вдоль линий AB и AC с рис.1b, соответствующих двухкомпонентному композиту с параметрами, взятыми из табл.1. Формально изменение p вдоль этих линий определяется через α → 0 и α → ∞ (в наших численных расчетах α = 1000). На рис.2а и рис.2c видно, что в высокочастотном пределе, ωτ → ∞, реальная часть динамической функции эффективной восприимчивости приближается к своим статическим значениям для компонентов (3) или (2) из табл.1, если p → 0. С другой стороны, активная часть эффективной восприимчивости не зависит от частоты, если при p → 1 принять значение, соответствующее компоненту (1) из табл.1. В низкочастотном пределе, ωτ → 0, реальная часть эффективной восприимчивости демонстрирует линейную зависимость, которая переходит в плато вблизи характерных частот ω2 → 1/τ2 (рис.2c) и ω3 → 1/τ3 (рис.2a) при p < p*. Переход соответствует максимуму мнимой части эффективной восприимчивости на тех же характерных частотах (рис.2b,d).
Характерная частота смещается к нижнему пределу, если мы увеличиваем долю p → p*. В точке p = p* наблюдается скачок действительной и максимум мнимой частей эффективной восприимчивости. Кроме того, мнимая часть эффективной восприимчивости достигает своего глобального максимума на характеристической частоте при p = p*.
На рис.3 представлены результаты расчета эффективной восприимчивости для трехкомпонентной системы (параметры приведены в табл.1). Траектория проходит по линиям AL1 и AL3 (рис.1b). Из-за большой разницы в начальных статических восприимчивостях компонентов (2) и (3), т.е. G(2),0 >> G(3),0, поведение эффективной восприимчивости очень похоже на поведение двухкомпонентной системы, описанной ранее.
В отличие от предыдущей ситуации, если начальные статические восприимчивости компонентов (2) и (3) приближаются друг к другу, мы можем наблюдать эффекты, характерные для трехкомпонентной системы. Для моделирования сохраним то же соотношение начальных времен релаксации, но предположим G(1),0 > G(2),0 = G(3),0 (см. табл. 1) и проследим за линиями AL1, AL2 и AL3 (рис. 1b).
В этом случае эффективная активная часть не очень чувствительна к α, хотя мы наблюдаем небольшое складывание плато вблизи ω2 и ω3 (рис.4 a,c,e). Это можно оценить по изоконтурной кривой, спроецированной на плоскость (log 10(ωτ), p). Для случая эффективной активной части мы видим два сдвига и три плато, если рассматривать проекцию изоконтурной кривой. Для лучшей оценки эффекта на рис.4h мы построили график эффективной активной части p → 0 как в логарифмическом масштабе (серая цветная кривая), так и без нее (черная цветная кривая). Здесь мы наблюдаем два перехода вблизи характерных частот, ω2 и ω3 (тонкие штриховые линии).
В то же время эффективная релаксационная компонента демонстрирует высокую чувствительность к параметру α. Мы наблюдаем два различных максимума эффективной восприимчивости на линии перколяции p = p* (рис.4b–f). Если α = 0,5, то глобальный максимум смещен к высоким частотам (рис.4b). В случае α = 1 максимумы на высоких и низких частотах почти одинаковы (рис.4d). Для α = 2 максимум смещен в сторону низких частот (рис.4f).
Мы также можем продемонстрировать явление двойной перколяции, описанное в работах [24–26]. Для этого траектория начальных концентраций соответствует дуге (рис.1b и уравнение (9c)). Следование этой траектории означает достижение перколяции компоненты (2) вблизи края BC, затем одновременное уменьшение долей компонентов (2) и (3) и увеличение доли компонента (1) приближает нас к стабильной точке A на краю AC. Такое преобразование предполагает, что перколяционный кластер, образованный из компоненты (2), впоследствии заменяется перколяционным кластером, образованным из компоненты (1). Результат продемонстрирован на рис.5 для различных начальных значений активных компонент, собранных в табл.1. Для простоты предполагается, что скорость релаксации одинакова для всех соединений.
На рис.5 можно заметить, что эффективная восприимчивость существенно изменяется в два раза вблизи p = pI ≈ 0,1 и p = pII ≈ 0,8. В зависимости от начальных активных значений мы моделируем три возможные ситуации изменения эффективной восприимчивости как функции концентрации p, а именно, эффективная восприимчивость может быть вогнутой (рис.5а), возрастающей (рис.5с) и выпуклой (рис.5е) функцией вдоль параметра p. Для оценки степени эффекта мы построили график реальной части эффективной восприимчивости с пределом ωτ → ∞ (рис.5h) в логарифмическом масштабе и без него.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данной работе мы исследовали свойства восприимчивости случайной трехкомпонентной системы с помощью недавно разработанного подхода иерархического усреднения по масштабу. Показано, что в случае большого расхождения статических локальных восприимчивостей динамические эффективные свойства аналогичны двухкомпонентной системе. Если статические восприимчивости компонентов (2) и (3) приближаются друг к другу, сохраняя различие релаксационных частей, то проявляются особенности трехкомпонентной системы. В этом случае эффективная активная часть имеет два плато, а релаксирующая часть демонстрирует два максимума. Амплитуды максимумов для релаксирующей части зависят от доминирующего компонента.
Также впервые исследован случай двойной перколяции, показавший, что динамические эффективные свойства восприимчивости меняются два раза. В первом случае изменение связано с созданием перколяционного кластера, построенного из компоненты (2), второе изменение связано с выдавливанием компонент (2) и (3) компонентой (1), которая строит вторичный перколяционный кластер.
ПРИЛОЖЕНИЕ А
Вращения в трех измерениях могут быть эквивалентно описаны одним из SO (3) или SU (2) представлений [29]. В первом представлении используются матрицы вращения 3 × 3 и векторы 3 × 1. Матрицы ортонормальны и их матричные элементы вещественны. В этом представлении SU (2) общая матрица вращения U может быть записана в виде:
, (A1)
которая действует на функцию z = f(x, y) в уравнении (9c) и задается как
. (A2)
Элементы матрицы U – комплексные числа, известные как параметры Кейли-Клейна, а звездочка обозначает комплексное сопряжение. Матрица U унитарна и эрмитова. Общее вращение может быть записано:
, (A3)
где символ Н – эрмитово сопряжение. В терминах углов Эйлера общая матрица U вращения может быть разложена:
(A4)
и
. (A5)
Математическое упрощение, обеспечиваемое представлением SU (2), является следствием меньшего числа ограничений. Эта ситуация аналогична решению системы линейных уравнений, где почти всегда проще решить меньшее число уравнений с меньшим числом ограничений. Для нашего приложения мы объединили вращения и трансляционные преобразования:
, (A6)
где ψ = 0, Ѳ1 = –90°, Ѳ2 = –45°, ϕ = 125,26 и
. (A7)
Кривая, описанная в уравнении (9c), может быть представлена в соответствии с уравнением (A6) для вложения в область вероятности.
ИНФОРМАЦИЯ О РЕЦЕНЗИРОВАНИИ
Редакция благодарит анонимного рецензента (рецензентов) за их вклад в рецензирование этой работы, а также за размещение статей на сайте журнала и передачу их в электронном виде в НЭБ eLIBRARY.RU.
ЛИТЕРАТУРА / REFERENCES
Broadbent S.R., Hammersley J.M. Proc. Camb. Phil. Soc. 53, 629 (1957).
Stauffer D. Scaling theory of percolation clusters, Physics Reports 54 (1), 1 (1979).
Shklovskii B.I., Efros A.L. Electronic Properties of Doped Semiconductors, Springer Series in Solid State Sciences, 45 (Springer-Verlag, Berlin, 1984).
Kirkpatrick S. Percolation and conduction, Rev. Mod. Phys. 45, 574 (1973).
Herrmann H.J. Geometrical cluster growth models and kinetic gelation, Physics Reports 136 (3), 153 (1980).
Thompson A.H., Katz A.J., Krohn C.E. The microgeometry and transport properties of sedimentary rock, Advances in Physics 36 (5), 625 (1987).
Du F., Scogna R.C., Zhou W., Brand S., Fischer J.E., Karen I. Winey, Nanotube Networks in Polymer Nanocomposites: Rheology and Electrical Conductivity, Macromolecules 37, 9048 (2004).
Posnansky O.P. On the influence of microscopic architecture elements to the global viscoelastic properties of soft biological tissue, Physica D: Nonlinear Phenomena 289, 1 (2014).
Posnansky O., Guo J., Hirsch S., Papazoglou S., Braun J., Sack I. Fractal network dimension and Viscoelastic powerlaw behav
Отзывы читателей
